Расхожий миф о том, что ЕГЭ — это тест, в котором несложно случайно угадать ответ, за последние годы уже кто только не опровергал. Однако, вплоть до текущего момента этот миф с завидным постоянством воспроизводится представителями самых разных политических сил [1, 2, 3]. Как следует из демоверсий разных лет, размещенных на сайте ФИПИ, последний раз классические «угадайные» вопросы с выбором 1 ответа из 4-х вариантов встречались на ЕГЭ в 2015 году. Однако и сейчас некоторые вопросы части 1 требуют ответов, которые представляют собой последовательность букв и цифр [4]. Я решил разобраться: насколько вероятно решить задания Части 1 ЕГЭ по истории случайным образом? Поскольку я учитель истории, а не математики, буду благодарен, если кто-то укажет ошибки в применении мной теории вероятностей и комбинаторики.
В части 1 контрольно-измерительных материалов (КИМов) ЕГЭ по истории 12 заданий. Задания 8-11 требуют в качестве ответа слово или словосочетание, их мы сразу исключаем из анализа. В заданиях 1, 3, 5, 7 необходимо установить соответствие между 4 элементами из одного списка и 4 элементами из другого списка, в котором 6 элементов. Ответ необходимо записать в виде комбинации, состоящей из 4 цифр. Формулировка заданий исключает повторение одних и тех же цифр в ответе.
Значит для А есть 6 возможных дат на выбор. Для Б, поскольку одна дата уже выбрана, остается 5 дат, для В – 4 даты, для Г – 3 даты. Нам нужна формула для размещений без повторений – P(n,k)=n!/(n−k)!, где n=6 и k=4. P(6,4)=6!/(6−4)!=(6×5×4×3×2×1)/(2×1)=360 возможных комбинаций. Вероятность подобрать случайную комбинацию таким образом составляет 1/360. Вероятность того, что случайным образом будут решены все 4 аналогичных задания, то есть совпадение 4 случайных независимых событий – 1/360 в четвертой степени или приблизительно 1 к 17 миллиардам.
Разумеется, с ростом уровня знаний вероятность дать правильный ответ повышается. Если наш выпускник, решая 1 задание знает, что Х съезд и Великая Отечественная относятся к ХХ веку, то вероятность угадывания повышается в 15 раз, до 1/24. Но ведь вероятность правильного ответа и должна расти по мере роста знаний?
Второе задание самое благоприятствующее случайному угадыванию. Последовательность из 3 цифр имеет всего 6 возможных комбинаций, значит вероятность случайного ответа 1/6 – довольно много. Интересно при этом, что по данным ФИПИ в 2024 году 1-е задание решили 70% (оно как и 2-е – всегда на хронологию), а второе 65% [5], хотя номинально куда ниже вероятность угадать ответ в 1 задании – 1/360. Со вторым заданием выпускники справились хуже потому, что в него включены даты не только по российской, но и по зарубежной истории, с которой дети чаще испытывают трудности. Это хорошо показывает, что важны знания, а вероятность случайного подбора не играет заметной роли.
В 4 задании необходимо заполнить пропуски в таблице временными промежутками, географическими объектами и событиями.
Любой выпускник отличит личности и события от временных промежутков. Таким образом недавнему 11-класснику придется случайно 3 раза угадать в правильном порядке комбинации из 2 цифр, выбранные из 3. Снова применяем уже известную формулу – P(3,2) = 3!/(3-2)! = 6. Вероятность случайным образом правильно расставить цифры для каждой категории объектов составляет 1/6, а решить задание «угадайкой» – 1/6 в кубе или 1/216.
Остаются задания 6 и 12. В них необходимо выбрать из списка в 6 суждений от 2 до 4 правильных, порядок записи цифр в ответе неважен.
Нужна формула для сочетаний – C(n,k) = n!/(k! × (n-k)!), где n – общее количество вариантов, а k – количество ответов. Из 2 цифр от 1 до 6 можно составить 15 нужных комбинаций, из 3-х – 20, из 4-х – 15. Всего у задания есть 50 (15+20+15) вариантов ответа, то есть вероятность случайного правильного ответа составляет 1/50.
Подведем итог. В Части 1 КИМ ЕГЭ по истории есть 8 заданий уязвимых к случайному угадыванию. Четыре задания с вероятностью угадывания 1/360, одно – 1/6, одно – 1/216, и два – 1/50. Какова вероятность случайно угадать ответы во всех 8 заданиях? После перемножения получается, что вероятность составляет 1 к 544 триллионам, это сопоставимо с шансом выиграть в крупную лотерею и быть убитым молнией в один и тот же день. Нашему выпускнику такая удача даст в 2025 году 16 первичных баллов или 47 тестовых из 100 возможных.
Обвинение в том, что на задания ЕГЭ можно «натаскать» гораздо интереснее, чем стереотип об «угадайке». В одной из следующих записей я постараюсь поговорить о том, возможно ли «натаскивание» на ЕГЭ по истории и обществознанию.