Наконец, давайте поговорим про последнюю задачу на ЕГЭ этого года.
Это, как правило, задача на теорию чисел.
Ещё её иногда называют «олимпиадной». Но на самом деле она скорее «околоолимпиадная» или даже «предолимпиадная».
Хотя тем школьникам, которые владеют базовыми олимпиадными техниками, её решить гораздо проще.
Задача состоит из трёх пунктов: решение первых двух даёт по одному баллу, правильно решённый третий пункт даёт ещё два балла.
Вот пример простой последней задачи из ЕГЭ-2021 года:
«Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье — сумме цифр второго.
а) Может ли сумма трёх чисел быть равной 420?
б) Может ли сумма трёх чисел быть равной 419?
в) Сколько существует таких троек чисел, что первое число — трёхзначное, а последнее равно 5?»
Обычно в пункте a) ответ «да». Как правило в нём не нужно ничего обосновывать и достаточно просто предъявить конкретный набор чисел, удовлетворяющий условиям задачи.
То есть если в задаче выше написать «Да, может. Например, возьмём числа 398, 20 и 2.», то за такое решение поставят один балл. Правда, всё же желательно указать, что 3+9+8=20, 2+0=2.
Для пункта б) в этой задаче нужно или сделать небольшой разумный перебор, или использовать продвинутую технику и рассмотреть остатки при делении на 3 (они совпадают у числа и у его суммы цифр).
Пункт в) здесь нетипичен в своей простоте. Тут достаточно перебора, пусть и довольно обширного и трудоёмкого.
То есть школьники на примере вариантов прошлых лет ожидают, что в первом пункте достаточно использовать подбор, во втором пункте какие-то несложные соображения из теории чисел и простые выкладки. Ну а последний пункт скорее нужен, чтобы на экзамене олимпиадникам не было скучно. И к слову, даже не решив его, можно набрать 100 баллов, решив все остальные задачи экзамена на полный балл.
Теперь давайте посмотрим, что так возмутило учеников и преподавателей в заданиях этого года.
Задание №1:
«На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или семи чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат. Найдите наименьшее возможное значение n.»
И вот здесь в пункте а) задача принципиально не решается подбором. И вообще здесь ответ «нет». То есть нужно ещё обосновать, почему не может быть среди чисел двух таких.
Конечно, задачу решить не сложно, если заниматься по углубленной программе без особых олимпиадных изысков. Но в массе своей школьники ожидали здесь что-то попроще и не были готовы к такому развитию событий.
В пункте б) тоже не достаточно применить логические рассуждения общего характера. Тут именно нужно знать про особенность остатков полных квадратов при делении на 4.
Конечно, этот факт несложно найти в учебниках для углубленного изучения математики.
Но для школьников, которые не занимались олимпиадной подготовкой, этот факт не является полноценным рабочим инструментом.
Напротив, любой олимпиадник знает про него, т.к. он часто используется в сложных задачах. Особенно в уравнениях в целых числах.
Сравните, к примеру, с задачами:
Решите в целых числах уравнения: i) x²+4x-8y=11 ii) x²+y²=4k+3
Пункт в) требует скорее олимпиадной техники рассуждений.
Задание №2:
«На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трех, четырех, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30033.
а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 303?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел быть равным 31?
в) Отношение двух написанных на доске чисел является целым числом n Найдите наименьшее возможное значение n»
Эта задача была в регионе Центр. И здесь идеи вроде схожие, но отличается в сторону усложнения набор чисел и подбор остатков.
Тут действительно придётся повозиться, даже если владеешь техникой решения.
Задание №3:
«а) Приведите пример семизначного числа, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из чисел: 206, 835, 930.
б) Существует ли восьмизначное число, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из чисел: 247, 345, 586, 812?
в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все натуральные числа от 1 до 50, вычеркивая цифры.»
Вот это типичная простая задача.
Пункт а) можно явно подобрать. Для пункта б) требуется несложное обоснование, почему такого числа не существует.
Для пункта в) число собрать несложно, могут быть нюансы с аккуратным обоснованием.
В принципе в последнем пункте обыгрывается известный кружковый сюжет с вычёркиванием чисел из последовательности.
Например, сравните с задачами из классического сборника А.В. Спивака «1001 задача по математике» из главы 19 «Наибольшее число, все цифры которого...»: .
165. Найдите наибольшее натуральное число: а) все цифры которого различны; б) все цифры которого различны и которое кратно 4.
166. Найдите наименьшее чётное число, в десятичной записи которого участвуют все цифры.
167. Найдите наименьшее натуральное число, кратное 100, сумма цифр которого равна 100.
168*. Из числа 1234512345123451234512345 вычеркните 10 цифр, чтобы осталось наименьшее возможное число.
169. Запишем натуральные числа от 1 до 60 в строку одно за другим: 1234567891011121314151617...495051525354555657585960. Вычеркните 100 цифр, чтобы оставшееся число было как можно: а) большим; б) меньшим.
Задание №4:
«На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23»
а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?
в) Найдите наибольшее возможное k таких чисел.
Снова здесь можно подобрать пункт а). Для пунктов б) и в) требуется уже более серьёзный уровень рассуждений.
Выводы по задачам теории чисел:
Задачи разные по уровню сложности. В первую очередь за счёт того, что где-то в первом пункте нужен простой подбор, а где-то нужно обосновать, почему этот подбор невозможен.
В Москве задачу усложнили ещё и за счёт количества рассматриваемых остатков.
Типичная подготовка школьников именно к 19-й задаче начинается с разбора задач на десятичную запись числа, сюжетных задач или задач с подбором и перебором. Поэтому задания на среднее арифметическое или оставляют на самый конец, или и вовсе не разбирают.
За счёт этого появление подобной задачи на экзамене автоматически сделало его сложным для большинства школьников.