Решение алгебраических уравнений с помощью степенных рядов
Приветствую своих будущих читателей!
Очень надеюсь, что будет интересно читать. просьба не судить строго, пианист играет как умеет. Если я, не ведая о том, выскажу чью то мысль, прошу извинить. Постараюсь упоминать цитируемых мною авторов
Как всегда анекдот в тему.
Советское время. Молодой выпускник вуза поступает на работу. Ему дают оклад 120 руб и общежитие. После стипендии нормально. Проходит год. молодой специалист знакомится с молодой девушкой. Собирается женится. Приходит к начальнику по поводу зарплаты. Повышают до 140 руб.
Через год пополнение в семье. Опять к начальнику. 150 руб и ни копейкой больше.
Плюнул на всё. диплом выкинул и пошёл работать на станок. З/п 250 руб. Живёт не тужит, да вот только комсорг пристал: иди учись, статистику портишь. Пришлось идти в вечернюю школу. Приходит, выспится на задней парте. Контрольные на 4 напишет, чтобы не приставали и дальше спать.
Как-то вызывают к доске и задание: найти площадь треугольника. Построил оси координат, треугольник. Составил определённый интеграл. Решает-площадь отрицательная и всё. Ничего не поймёт. Опять интеграл - и снова отрицательная площадь. Вдруг с задней парты заспанный голос"А ты пределы интегрирования поменяй местами".
Это почти про меня. Я вечерний вуз закончил в 1983 году. Сейчас наладчик станков с ЧПУ.
Если забить в поиске "решение уравнений", то получите множество ответов. В одном было десять способов решения! Но все они сводятся к трём.
1.Теорема Виета.
Подходит не ко всем уравнениям, а только для упражнений по математики,
где подбираются специальные коэффициенты. Решение уравнения сводится к разложению свободного члена на множители. Полученные множители должны в сумме получить второй коэффициент с обратным знаком.
x²-5x+6=0
Возможны 2 варианта:
6=1*6 1+6=7 не подходит, т.к. 7≠-(-5)
6=2*3 2+3=5 т.к. 5=-(-5), то корни уравнения x1=2, x2=3
Попробуйте решить уравнение
x²-3x-1=0
где корни
x(1.2)=1.5±√3.25
и вам будет понятно, что не любое уравнение можно решить по теореме Виета
2. Выделение полного квадрата суммы (разности)
К данному уравнению прибавляют и вычитают одно и то же число, чтобы получился полный квадрат.
x²-3x-1=0
x²-2*1,5*x-1+3,25-3,25=0 добавляем и вычитаем 3.25
(x²-2*1,5*x+2,25)-3,25=0 заменяем (-1+3,25) =2.25=1.5², выделяем полный квадрат
(x-1.5)²-3,25=0
(x-1.5)²=3,25
x(1.2)=1.5±√3.25
3. Вычисления корней с помощью дискриминанта
Всем известная формула дискриминанта D = b²-4c
С помощью данной формулы можно решать практически все уравнения
x(1,2)=(-b±√D)/2
Переходим к теме канала
Рассмотрим уравнение x²+x+q=0
Будем искать решение в виде степенного ряда, где переменной является свободный член "q"
x= ∑(a(n)*qⁿ) где n от 0 до ∞
Тогда x²= ∑(b(n)*qⁿ) где b(n)=∑a(k)*a(n-k) где "n" и "k" от 0 до n
А свободный член "q" будет представлен одним элементом q= c(1)*q¹
Согласно уравнению сумма коэффициентов каждой степени равна "0"
a(n)+b(n)+c(n)=0
Степень "0"
a(0)+b(0)+c(0)=0, где b(0)=a(0)*a(0)=a(0)², c(0)=0
(a(0))²+a(0)+0=0 → a(0)*(a(0)+1)=0 → a(0)=0 и a(0)=-1
Сначало рассмотрим a(0)=0 Корень, полученный при этом будем называть нулевым
Степень "1" a(1)+b(1)+c(1)=0, где b(1)=a(0)*a(1)+a(1)*a(0)=0, c(1)=1
a(1)+1=0 → a(1)=-1
Ввиду того, что a(0)=0, этот коэффициент, а также козффициент c(n) не будем учитывать в последующих вычислениях
Степень "2" a(2)+b(2)=0, где b(2)=a(0)*a(2)+a(1)*a(1)+a(2)*a(0)=a(1)*a(1)=1 a(2)=-1
Степень "3" a(3)+b(3)=0, где b(3)=a(1)*a(2)+a(2)*a(1)=2*a(1)*a(2)=2 a(3)=-2
Произвольная степень "n" a(n)+b(n)=0,→ a(n)=-b(n) где b(n)=∑a(k)*a(n-k) где k от 1 до n a(n)=-∑a(k)*a(n-k) где k от 1 до n
Мы получаем следующую последовательность
Степень │0│ 1 │2 │ 3 │4 │ 5 │ 6 │ 7 │ 8 │ 9 │ 10 │ 11 │ 12 │
значение│0│-1│-1│-2│-5│-14│-42│-132│-429│-1430│-4862│-16796│-58786│
Уже при написании статьи узнал, что данная последовательность называется числа Каталана (A000108) и с её помощью решается квадратное уравнение https://habr.com/ru/articles/912144/
Т.к. свободный член равен "0", вынесем q за пределы суммы
x= q*∑(a(n)*qⁿ)
Степень │0 │1 │2 │ 3 │ 4 │ 5 │ 6 │ 7 │ 8 │ 9 │ 10 │ 11 │
значение│-1│-1│-2│-5│-14│-42│-132│-429│-1430│-4862│-16796│-58786│
Но я шёл другим путём. Будем рассматривать последовательность a(n)/a(n-1), начиная с n=1
a(1)/a(0) =-1/-1=1
a(2)/a(1) =-2/-1=2
a(3)/a(2) =-5/-2=5/2
a(4)/a(3) =-14/-5=2*7/5
a(5)/a(4) =-42/-14=3
a(6)/a(5) =-132/-42=2*11/7
a(7)/a(6) =-429/-132=13/4
a(8)/a(7) =-1430/-429=2*5/3
a(9)/a(8) =-4862/-1430=17/5
a(10)/a(9) =-16796/-4862=2*19/11
a(11)/a(10) =-58786/-16796=7/2
Преобразуем дробь , чтобы в числителе были числа (2n-1), в знаменателе (n+1)
a(1)/a(0) =1=(1/2)*2
a(2)/a(1) =2=(3/3)*2
a(3)/a(2) =5/2=(5/4)* 2
a(4)/a(3) =2*7/5=(7/5)*2
a(5)/a(4) =3 =(9/6)*2
a(6)/a(5) =2*11/7=(11/7)*2
a(7)/a(6) =13/4 =(13/8)*2
a(8)/a(7) =2*5/3 =(15/9)*2
a(9)/a(8) =17/5=(17/10)*2
a(10)/a(9)=2*19/11 =(19/11)*2
a(11)/a(11) =7/2=(21/12)* 2
или
a(n)/a(n-1)=(2n-1)/(n+1))* 2=(2n-1)*2)/(n+1)
Очевидно, но не доказано!
Помножим числитель и знаменатель на "n" и получим окончательный результат a(n)/a(n-1)=((2n-1)*2n)/(n*(n+1))
Теперь найдём все коэффициенты ряда
a(0)=-1 a(1)=1*(1*2) /(1*2)=(1*2) /(1*2) a(2)=((1*2) /(1*2)) * ((3*4) /(2*3))=(1*2*3*4)/((1*2)*(2*3))
a(2)=(1*2*3*4)/((1*2)*(2*3))* ((5*6) /(3*4)) = (1*2*3*4*5*6)/((1*2*3)*(2*3*4)) или a(2)=6!/(3!*4!)
a(4)=8!/(4!*5!)
a(5)=10!/(5!*6!)
a(6)=12!/(6!*7!)
a(7)=14!/(7!*8!) a(8)=16!/(8!*9!)
a(9)=18!/(9!*10!)
a(10)=20!/(10!*11!)
a(11)=22!/(11!*12!)
a(n)=(2n)!/((n+1)!*n!)
А нулевой корень равен
x= -q*∑((2n)!/((n+1)!*n!)*qⁿ) где n от 0 до ∞
Сходимость ряда по признаку Д'Аламбера
Радиус сходимости ряда
R=a(n)/(a(n+1) =(n*(n+1))/((2n-1)*2n)
lim(R)=( (n) *(n+1))/ (2n*(2n-1))= 1/4 при n → ∞
Интервал абсолютной сходимости от -1/4 до1/4. Но при q от -1/4 до -∞ уравнение имеет действительные корни, а при q от 1/4 до +∞ уравнение имеет комплексные корни.
Проверка
Возьмём уравнение x²+x+3/16=0
Корни уравнения Х1 =-1/4 и Х2 =-3/4
Х=-(3/16)*∑((2n)!/((n+1)!*n!)*(3/16)ⁿ)
С помощью сайта https://math24.biz/sum находим:
∑((2n)!/((n+1)!*n!)*(3/16)ⁿ)=4/3
Х=-3/16 * 4/3 = -1/4
Проверка прошла успешно
Решение уравнения x²+px+q=0
Разделим левую и правую часть на p²
x²/p²+px/p²+q/p²=0
(x/p)²+x/p+q/p²=0
введём новую неизвестную
y=x/p
Тогда
y²+y+q/p²=0: x=p*y
Нулевой корень уравнения равен:
Y0=q/p²∑((2n)!/((n+1)!*n!)*(q/p²)ⁿ)
X0=q/p∑((2n)!/((n+1)!*n!)*(q/p²)ⁿ)