Эта последняя часть публикации дошедшей до нас книги И.Т. Беломорского "Жизнь и математика Илариона Попугайского". Л., 1989. Как и в уже опубликованных частях, я добавил свои примечания, и перерисовал рисунки.
Предыдущая Часть 8. Загадка гибели и забвения.
19. Лес Попугайского
Величайшая заслуга И. Попугайского в том, что он, в рамках одной теории связал такие области математики, как функциональный анализ, теорию чисел, теорию множеств и теорию графов. Таким образом, математики, а также исследователи и практики различных областях знания, могут получить в свое распоряжение мощный математический аппарат, объединяющий уже известные методы в единое целое.
Можно сказать, что все предыдущие главы были только предисловием. Теперь читатель встретится не просто с математикой, а МАТЕМАТИКОЙ. Я постараюсь придерживаться научно-популярного стиля изложения, шаг за шагом углубляясь в «Лес Попугайского».
Удивительным образом связаны между собой не только судьбы (о чем я уже неоднократно напоминал), но и открытия Э. Галуа и И. Попугайского, что станет понятно при более глубоком изучении. Для начала ознакомимся со свойствами элементов «Леса Попугайского», названные их создателем деревьями. Объяснить простыми словами сложные вещи – особенный талант, и Иларион проявил его в полной мере, сумев описать «дерево Попугайского» пользуясь понятиями, большую часть из которых изучают в современной средней школе.
20. Дерево Попугайского – просто о сложных вещах
Основным элементом леса, как нетрудно догадаться, является дерево, ствол которого представляет из себя область операций (2), которая совпадает с областью определения функций дерева.
Частным случаем является область операций, определяемая в прямоугольной (Декартовой) системе координат, при этом границами области операций (значениями Х₁, Х₂, Y₁, Y₂, см. рисунок ниже) могут быть любые вещественные числа. В общим случае область операций задается в стволовой системе координат (3), напоминающей цилиндрическую, но имеющую от нее отличия. Кроме значений Х. Y задается азимут ϕ, в градусах 0 ≤ ϕ < 360°; или радианах 0 ≤ ϕ < 2π.
Возможны три варианта задания области определения операций в угловых координатах:
а) углом – в этом случае прямоугольные система просто поворачивается на определенный угол ϕ
б) сектором, заданным радиусами с углами ϕ₁, ϕ₂ между ними и осью Х, или двумя секторами, второй из которых задан углами ϕ₃=ϕ₁+π и ϕ₄=ϕ₂+π
в) область операции в угловых координатах задана на всех 360°, или 2π.
Для тех, кто изучал курс аналитической или начертательной геометрии (4) не трудно будет представить преобразования, которые происходят с графиками функций при определении области операций на угле 2π. Например, окружность x² + y² + Ax + By + C = 0 преобразуется в сферу, парабола у = A x² + Bx + C - в параболоид вращения.
Оставим пока стволовую систему координат (4), и вернемся к Декартовой, чтобы на простом примере объяснить несколько фундаментальных понятий.
Множество графиков функций в области операций, образуют граф, вершинами которого являются точки пересечения графиков («корневые вершины»), а ребрами – участки графиков функций между вершинами. Пересечения графиков с границами области операций также являются вершинами графа («граничные вершины»). В том случае, если два иди более графика пересекаются на границе области операций, то полученная вершина является одновременно корневой и граничной.
Первая аксиома дерева Попугайского для прямоугольной системы координат. Любые две функции в области операций имеют, как минимум, одно общее решение.
Вторая аксиома дерева Попугайского для прямоугольной системы координат. В пределах области операций существует, как минимум, один путь между двумя любыми вершинами графа, образованного определенными в ней функциями.
В отличие от обычных графов, которые являются чисто логическими структурами, каждое из ребер графа Попугайского является графиком функции, что позволяет в полной мере использовать все возможности функционального анализа.
Очевидна возможность применения этого мощного матаппарата для анализа и синтеза систем автоматического управления, где в каждой вершине, в зависимости от набора предыдущих состояний системы и внешних условий, возможен переход в другой режим работы. (Прим.5).
Примечания автора блога к главам 20, 21
1) Так как глава 20 дошла до нас в незаконченной, я взял на себя смелость дополнить её своими примечаниями, т.к., как мне кажется, понял заложенные там идеи. Понимание это не теоретическое, а чисто прикладное, с точки зрения инженера.
2) И. Попугайский ввел это определение, т.к. кроме вычислений значений функций, и нахождения их общих решений, в области определения (или области задания) функций дерева производятся и другие операций, например, над графами.
3) В цилиндрических координатах каждая точка P задается тройкой (r, ϕ, z), где r -расстояние от вертикальной оси z до точки, ϕ – азимут (или долгота) - — угол между положительной («плюсовой») частью оси x и отрезком, проведённым от полюса до точки P и спроектированной на плоскость xy, z –высота, равная декартовой z-координате точки P. Полярную систему координат можно рассматривать как частный случай стволовой, когда положение точки задается поворотом плоскости прямоугольной системы координат на определенный угол. В тех же случаях, когда угловые координаты области операций задаются в виде сектора или целого круга, то мы получаем вместо графиков функций плоскости, а общие решения функций (точки пересечения графиков) представляют собой не точки (пресечения линий), а пересечения поверхностей - дуги или окружности.
4. Вспомнил свою курсовую работу по аналитической геометрии на 1 курсе ЛЭИС им. проф. М.А. Бонч-Бруевича – пересечение усеченного конуса с шаром – помимо трех проекций, надо было нарисовать аксонометрию, заштриховать (угол под которым падал свет тоже задавался). Многие сделать это в принципе не могли, так что нарисовать эпюр «под ключ» стоило 10 рублей.
5. Вот как можно использовать графы Попугайского для анализа вольт-амперных характеристик (ВАХ) нелинейных элементов. Для примера возьмем ВАХ неуправляемого тиристора. Область операций ограничена слева и снизу осями координат – считаем, что используется только прямое включение тиристора. Справа – напряжением переключения, сверху - ток ограничивается полным сопротивлением цепи. Точки 0, А, С являются граничными вершинами графа, который получен из графиков двух функций, которыми мы аппроксимируем участки ВАХ – линейной и параболы. В корневой вершине В происходит пересечение графиков. Путь 0 – А – В – С соответствует ВАХ тиристора.
6. Ученый не успел написать следующую главу, но уже исходя из того, что нам уже известно, очевидна возможность применения матаппарата «дерева Попугайского» для периодических гармонических колебаний – сразу вспоминаются фигуры Лиссажу на осциллографе, легко получается визуализация вращающегося электромагнитного поля.
21. Тригонометрические и комплекснозначные функции в дереве
Послесловие издателя.
Это была последняя строка, написанная И.Т.Беломорским. Он умер из-за внезапной остановки сердца в своей однокомнатной хрущевке в Купчино (1), за письменным столом. Возможно, причиной послужили последствия тяжелого ранения, полученного сорок лет назад (2).
Его обнаружила давняя подруга, зашедшая навестить, вызывать скорую было уже поздно. Только благодаря ей сохранился машинописный текст этой книги – она перепечатывала рукопись. Сохранилась также тетрадь, озаглавленная «Задачи, составленные И. Попугайским во время обучения в гимназии».
Все прочие материалы о И. Попугайском, а также личный архив И.Т. Беломорского пропали из его квартиры через несколько дней после похорон. Сейчас, во времена гласности, становятся известными многие страницы нашей истории. Эта небольшая книга – дань нашей памяти Петербургскому и Ленинградскому ученым-математикам, И.Г. Попугайскому и И.Т. Беломорскому. Хочется надеяться, что пропавшие документы, фотографии, письма хранятся в одном из закрытых архивов, и настанет день, когда они станут доступны.
Примечания автора блога к послесловию издателя
1. В Купчино родились и жили многие наши известные земляки. Первые, о ком я подумал - Виктор Цой, Юрия Каспарян, Георгий Гурьянов и математик Григорий Перельман. Перельман, как и оба наших героя, учился на матмехе ЛГУ, куда он поступил в 16 лет без экзаменов, выиграв международную математическую олимпиаду для школьников в Будапеште. Всенародную известность получил не решением одной из «задач тысячелетия» (доказательство гипотезы Пуанкаре), а отказом от присужденной за это достижение премии в размере один миллион долларов.
2. Это косвенное упоминание о том, когда умер И.Т. Беломорский – через 40 лет после ранения, т.е. в 1984 г. Через 5 лет после этого цензуры и ограничений по использованию множительной техники и печати уже практически не было, что дало возможность напечатать книгу, которую я опубликовал в своем блоге.