ОСТОРОЖНО! МНОГО ТРЕУГОЛЬНИКОВ :)
Попробуйте решить это задание сами. Успехами делитесь в комментариях.
Ниже приведу одно из решений данной задачи.
Когда ищем отношение площадей, совершенно нет необходимости находить числовые значения данных площадей.
1) Для начала выполним дополнительные построения: проведем диагонали AE, BD и BE.
ABDE - прямоугольник (докажите это); AD и BE - диагонали прямоугольника, пересекаются в точке К. Следовательно точка К - середина отрезка ВЕ.
2) Посмотрим теперь на треугольник BED:
ВМ и DK - медианы, которые пересекаются в точке О. Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1 от вершины. Тогда BO/OM=2/1
3) Рассмотрим треугольники BOD и DOM:
Так как DO делит BM в отношении 2:1, то площади треугольников BOD и DOM тоже относятся как 2:1.
Для дальнейших рассуждений обозначим площадь треугольника DOM как S. Тогда площадь треугольника BOD равна 2S:
4)Теперь нас будут интересовать треугольники AOB и DOM:
Эти треугольники подобны (докажите это) с коэффициентом подобия 2.
Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия в квадрате. Получается, что площадь треугольника АОВ в 4 раза больше площади треугольника DOM. Т.е. площадь треугольника AOB равна 4S
5) Треугольники ABD и DAE равны. Из рисунка видно что треугольник ABD составляет 6S. Значит площадь четырехугольника AOME составляет (6S-S), т.е. 5S
6) Осталось рассмотреть площади треугольников FAE и BCD. Эти треугольники равны (докажите это).
Для этого еще раз рассмотрим шестиугольник с диагональю BE:
Четырехугольник KEFA - ромб (докажите это с учетом, что AD=2AF)
По свойству ромба диагональ AE делит его на два равных треугольника. Площадь треугольника FAE равна площади треугольника AKE. Если учесть, что АК - медиана треугольника ABE, то она разбивает этот треугольник на два равновеликих треугольника. Площадь треугольника AKE составляет половину площади АВЕ. Вернемся к прямоугольнику ABDE и заметим, что треугольники ABE и ABD равны, т.е. 6S. Получаем, что площадь треугольника AKE равна 3S, а сней и площадь треугольника FAE тоже равна 3S.
Если у вас получилось распутать этот узел треугольников, поздравляю! Мы на финишной прямой.
7)
Площадь BODC равна 5S, площадь AOMEF - 8S
Отношение площадей этих многоугольников равно 5/8.