Прорыв в математической физике: решение шестой проблемы Гильберта

Прорыв в математической физике: решение шестой проблемы Гильберта

В начале XX века выдающийся математик Давид Гильберт поставил перед научным сообществом амбициозную задачу — привнести в физику более строгий математический подход. В то время физики активно спорили о базовых понятиях: что такое тепло? Как устроены молекулы? Гильберт надеялся, что формальная логика математики сможет дать ясность. Утром 8 августа 1900 года на Международном конгрессе математиков он представил список из 23 ключевых математических проблем, которые должны были направлять исследования на столетие вперед. Шестая проблема была особенно смелой: разработать строгую аксиоматическую основу для законов физики.

Объем задачи, заданной Гильбертом, был огромен. Он предлагал подходить к физике, где математика играет важную роль, так же, как к геометрии — через аксиомы. По словам Дэйва Левермора, математика из Университета Мэриленда, это была скорее программа, чем задача с конкретным решением. Полное решение шестой проблемы, по сути, невозможно, но Гильберт указал направление. Например, он интересовался, можно ли доказать, что разные уравнения, описывающие свойства газа (движение молекул или его среднюю температуру), являются различными аспектами одной реальности, как предполагали физики, но не могли строго обосновать.

За 125 лет даже частичное решение этой задачи казалось недостижимым. Математики делали шаги вперед, доказывая связи между уравнениями только в особых случаях — например, для очень коротких временных интервалов или искусственно упрощенных условий. Однако это не соответствовало масштабам замысла Гильберта. И вот, спустя более чем век, трое математиков — Юй Денг, Захер Хани и Сяо Ма — добились значительного прогресса, решив одну из ключевых частей проблемы. Их работа не только продвигает программу Гильберта, но и затрагивает вопросы необратимости времени.

Под микроскопом и за его пределами

Рассмотрим газ с сильно разбросанными частицами. Физики моделируют его на разных уровнях. На микроскопическом уровне газ состоит из молекул, которые ведут себя как бильярдные шары, двигаясь по законам Ньютона. Эта модель называется системой твердых сфер. Если отойти чуть дальше, на мезоскопическом уровне, отслеживать каждую молекулу становится невозможно. Здесь применяется уравнение Больцмана, разработанное Джеймсом Клерком Максвеллом и Людвигом Больцманом в XIX веке. Оно описывает вероятное поведение молекул, указывая, сколько частиц можно найти в разных точках с разными скоростями. Это помогает изучать, например, движение воздуха вокруг космического корабля.

Еще дальше, на макроскопическом уровне, газ воспринимается как сплошная субстанция. Для описания его плотности и скорости движения используется набор уравнений Навье-Стокса. Физики считают эти модели совместимыми, но математики, работавшие над шестой проблемой Гильберта, стремились доказать это строго. Они хотели показать, что модель Ньютона порождает уравнение Больцмана, а оно, в свою очередь, ведет к уравнениям Навье-Стокса.

Частичный успех был достигнут на втором этапе: доказано, что из мезоскопической модели можно вывести макроскопическую в определенных условиях. Но первый шаг — от микроскопического к мезоскопическому — оставался нерешенным, нарушая логическую цепочку. Теперь это изменилось. В серии работ Денг, Хани и Ма доказали этот сложный переход для газа в одной из заданных ситуаций, впервые завершив цепочку.

Независимость и столкновения

Больцман уже показал, что законы Ньютона могут привести к его уравнению, если молекулы газа движутся относительно независимо друг от друга, то есть повторные столкновения одной и той же пары молекул редки. Однако он не мог математически доказать эту гипотезу из-за отсутствия подходящих инструментов. Оскар Ланфорд в 1975 году частично решил эту задачу, доказав гипотезу для крайне коротких временных интервалов — менее чем за миг. Но его доказательство рушилось, если учитывать более длительные периоды, когда вероятность повторных столкновений возрастала.