Приветствую Вас!
Квадратные уравнения — это как суп из пакета: вроде все умеют, но мало кто делает вкусно.
В школе нас учат решать их строго по формуле: посчитал дискриминант, вытащил корни и пошёл дальше.
Но есть и другие пути. Короче, быстрее, лучше!
Приём №1: сумма коэффициентов равна нулю — значит, x = 1
Уравнения, безусловно, встречаются разные, но, если не торопиться сразу вычислять дискриминант, а присмотреться к коэффициентам, то можно за пару секунд выдать ответ. Даже, если он не в целых числах. Смотрите:
5x² - 6x + 1 = 0
Прям конкретно видно, что сумма чисел равна нулю, а значит, x = 1 — это первый корень.
Проверяем:
5·(1)² - 6·1 + 1 = 5 - 6 + 1 = 0 - верно. Ну, тут и так понятно почему.
А второй корень будет:
x₂ = c / a, то есть 1 / 5 = 0.2
Итого: корни — x = 1 и x = 0.2
Работает для любого уравнения ax² + bx + c = 0, где a + b + c = 0.
Неважно, стоят ли тройки, пятёрки или дроби — главное, чтобы сумма трёх коэффициентов давала ноль. Тогда x = 1 — всегда в кассу, а x₂ = c / a
Приём №2: сумма первого и последнего коэффициентов = второму
Тут схема немного коварнее, но работает не хуже.
Берём уравнение:
3x² + 8x + 5 = 0
Смотрим на коэффициенты:
3 (перед x²) + 5 (свободный) = 8 (перед x)
Значит, один корень — x = -1, что, по-моему, тоже логично.
Проверяем:
3·(-1)² + 8·(-1) + 5 = 3 - 8 + 5 = 0 — работает!
А второй корень? Тут тоже есть чит-код:
x₂ = -c / a
Подставляем: -5 / 3 = -5/3
Ответ: x = -1 и x = -5/3
Этот приём работает, если a + c = b. То есть первый плюс последний коэффициент дают средний. Тогда x = -1 — корень, а второй считается по шаблону: x₂ = -c / a
Приём №3: метод умножения крайних (если ничего не подошло)
Если в уравнении нет красивых совпадений — включаем тяжёлую артиллерию:
умножаем первый и последний коэффициенты, и подбираем пару чисел с нужной суммой.
Пример:
3x² + 11x + 6 = 0
Считаем:
3 × 6 = 18, получается как бы новое, приведенное ( отсутствует коэффициент перед x²), уравнение:
x² + 11x + 18 = 0
А вот оно легко решается по теореме Виета. Для тех, кто подзабыл, напоминаю: нужно подобрать пару чисел, чтобы при умножении они давали 18, а при сложении: -11 (именно "-", т.к. в уравнении стоит +11, а по теореме Виета нам нужен противоположный знак)
Восемнадцать это: 18*1, 9*2, 6*3. Как видно, что одиннадцать у нас получается только путем сложения 9 и 2. Добавим к ним минуса и, -9 - 2 = -11. Что нас полностью устраивает.
Итак, корни приведенного уравнения мы знаем. Чтобы найти нужные, требуется эти корни разделить на ту тройку, которую умножали вначале:
x = -9/3 = -3
x = -2/3
Вот и всё!
Работает абсолютно всегда, но требует чуть больше смекалки. Зато это быстро и удобно
И что в итоге?
Если вы всё ещё бьётесь с дискриминантом в каждой задаче — пора выходить на новый уровень. Эти три фишки реально работают, дают моментальный результат и, что особенно приятно, встречаются в реальных задачах экзаменов.
Так что тренируйте глаз — и пусть квадратные уравнения будут не источником боли, а поводом для гордости. Мозг у нас один, давайте использовать его с умом.
Благодарю за внимание..