В олимпиадной школьной геометрии есть задачи на нахождение геометрического места точек (ГМТ). Многие школьники про них даже не слышали и никогда их не видели. А кто с ними столкнулся, то тяжело решает. Отличники и олимпиадники порой также спотыкаются об эти задачи.
Посмотрим на одну из них: "Точка А лежит на окружности. Найдите ГМТ таких точек M, что отрезок AM делится этой окружностью пополам". Когда сложно представить задачу, то можно просто рисовать примеры. Тут лакмусовой бумажкой будет такой отрезок AM, который проходит через центр окружности. Geogebra, кстати, помогает представить эскиз, который потом уже можно "догнать" аналитически.
По эскизу сразу видно, что искомое ГМТ - окружность с радиусом, равным диаметру исходной окружности, и центром в зеркальной точке A относительно центра исходной окружности. Точка A на этой ГМТ "выколота".
А как теперь "задним умом" обосновать такое построение?! Если соединить центр "большой" окружности с точками пересечения "маленькой" окружности и лучами, исходящими из т. А, то получатся срединные перпендикуляры (середины отрезков по условию задачи и перпендикуляры, так как треугольники в большой окружности получаются равнобедренными в силу равенства радиусов-боковых сторон). То есть углы CHA, CGA, CJA прямые. То есть они все опираются на диаметр малой окружности AC. Это интуитивное обоснование. Строгое доказательство требует больше аккуратности и терпения.
