Ковариация — в теории вероятностей и математической статистике мера линейной (!) зависимости двух случайных величин.
Ковариация (корреляционный момент) Kxy случайных величин X ,Y это математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий.
Где Кху - ковариация XY,
M(Х,Y) - мат. ожидание,
ax, ay - отклонение от мат. ожидания,
n - количество измерений
Ковариация показывает рассеивание случайных величин вокруг точки (ax, ay )
Если ковариация >0, большие значения одной переменной соответствуют большим значениям другой переменной. Зависимость прямая/
Если ковариация <0, большие значения одной переменной соответствуют меньшим значениям другой и наоборот. Зависимость обратная.
Величина ковариации не нормирована и зависит от размерности величин. Нормализованная версия ковариации — коэффициент корреляции . Если линейная зависимость не найдена используют метод парных регрессий.
Пример 1
Предположим, что доход компании (Х) в зависимости от ситуации на рынке может принимать значения 1 млн. руб. с вероятностью 0,5, 2,5 млн. руб. с вероятностью 0,3 и 5 млн. руб. с вероятностью 0,2.
Затраты компании на рекламу (Y) могут принимать значения 0,1 млн. с вероятностью 0,6, 0,3 млн. с вероятностью 0,3 и 0,5 млн. с вероятностью 0,1.
Рассчитайте ковариацию Х и У
Вычислим математическое ожидание дохода.
М(X) = 1*0,5+2,5*0,3+5*0,2=2,25 млн.
Найдем отклонения Х от математического ожидания
1-2,25 = -1,25
2,5-2,25 = 0,25
5-2,25 = 2,75
Вычислим математическое ожидание расходов на рекламу
M (Y) =0,1*0,6+0,3*0,3+0,5*0,1= 0,2 млн.
Найдем отклонения У от математического ожидания
0,1-0,2=-0,1
0,3-0,1=0,1
0,5-0,2=0,3
Определим ковариацию
Kxy =((-1,25*-0,1)+(0,25*0,1)+(2,75*0,3))/(3-1) = 0,4875
Ковариация больше нуля. Значит увеличение расходов на рекламу влияет на увеличение дохода.