Как решать задачи на пропорции: разбор типовых заданий ОГЭ

Пропорции — важный математический инструмент, который широко применяется в задачах ОГЭ. В этой статье мы подробно разберем, как решать все типы пропорциональных задач, встречающихся на экзамене.

Основные понятия

Пропорция — равенство двух отношений:  

a : b = c : d  

где a и d — крайние члены, b и c — средние члены.

Основное свойство пропорции:  

a × d = b × c (произведение крайних членов равно произведению средних)

Типы пропорциональных зависимостей

1. Прямая пропорциональность

Характеризуется тем, что при увеличении одной величины в несколько раз, другая увеличивается во столько же раз.

Формула:  

y = kx, где k — коэффициент пропорциональности

Пример задачи:  

3 кг яблок стоят 150 рублей. Сколько стоят 5 кг таких же яблок?

Решение:  

Составляем пропорцию:  

3 кг — 150 руб.  

5 кг — x руб.  

3/150 = 5/x  

x = (150 × 5)/3 = 250 рублей

Ответ: 250

2. Обратная пропорциональность

Характеризуется тем, что при увеличении одной величины в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

Формула:  

y = k/x

Пример задачи:  

6 рабочих выполняют работу за 4 часа. За сколько часов выполнят работу 8 рабочих?

Решение:  

6 раб. — 4 ч.  

8 раб. — x ч.  

Обратная пропорция:  

6/8 = x/4  

x = (6 × 4)/8 = 3 часа

Ответ: 3

Пошаговый алгоритм решения

1. Определите тип зависимости между величинами:

  - Если при увеличении одной величины другая тоже увеличивается — прямая пропорция

  - Если при увеличении одной величины другая уменьшается — обратная пропорция

2. Составьте пропорцию, сохраняя соответствие величин

3. Используйте основное свойство пропорции для нахождения неизвестного

4. Проверьте решение на правдоподобность

Разбор сложных задач

Задача 1 (комбинированная):

Для перевозки груза нужно 12 машин грузоподъемностью 5 т. Сколько машин грузоподъемностью 4 т потребуется для перевозки того же груза?

Решение:  

1. Общий груз: 12 × 5 = 60 т  

2. Число машин: 60 / 4 = 15

Или через пропорцию (обратная зависимость):  

5 т — 12 маш.  

4 т — x маш.  

5/4 = x/12  

x = (5 × 12)/4 = 15

Ответ: 15

Задача 2 (реальная математика):

На карте с масштабом 1:50000 расстояние между пунктами 8 см. Каково реальное расстояние в км?

Решение:  

1 см на карте = 50000 см = 500 м = 0.5 км  

8 см = 8 × 0.5 = 4 км

Ответ: 4

Частые ошибки

1. Неправильное определение типа пропорции  

  Как избежать: Внимательно анализируйте, как изменение одной величины влияет на другую

2. Нарушение порядка членов пропорции  

  Как избежать: Следите, чтобы однородные величины были в одной части отношения

3. Арифметические ошибки  

  Как избежать: Перепроверяйте вычисления

Полезные советы

1. Для сложных задач делайте таблицы с величинами

2. Записывайте единицы измерения для всех величин

3. Тренируйтесь определять тип пропорции на простых примерах

4. Используйте метод "крест-накрест" для проверки пропорции

Практические задания

1. Автомобиль проезжает 240 км за 3 часа. Какое расстояние он проедет за 5 часов с той же скоростью?

2. Для покраски 15 м² стены нужно 1.5 кг краски. Сколько краски нужно для 40 м²?

3. 5 одинаковых труб заполняют бассейн за 12 минут. За сколько минут заполнят бассейн 8 таких труб?

Ответы:  

1. 400 км (прямая пропорция)  

2. 4 кг (прямая пропорция)  

3. 7.5 мин (обратная пропорция)

Для успешного решения задач на пропорции:

1. Твердо знайте признаки прямой и обратной пропорциональности

2. Освойте алгоритм составления пропорций

3. Тренируйтесь на задачах разного уровня сложности

4. Анализируйте свои ошибки

Помните: умение работать с пропорциями пригодится не только на ОГЭ, но и в повседневной жизни при расчете расходов, времени и других важных величин.