Как решать задачи на проценты: разбор типовых заданий ОГЭ

Процентные задачи составляют значительную часть экзамена ОГЭ по математике. Они проверяют умение работать с финансовыми расчетами, статистическими данными и реальными жизненными ситуациями. Разберем все типы задач на проценты, которые встречаются на ОГЭ, с подробными объяснениями и примерами решений.

Основные понятия и формулы

Процент — это сотая часть числа. Для работы с процентами нужно знать три основные формулы:

1. Нахождение процента от числа:  

  Значение = (Число × Процент) / 100

2. Нахождение числа по его проценту:  

  Число = (Значение × 100) / Процент

3. Нахождение процентного отношения:  

  Процент = (Значение / Число) × 100

Типы задач на проценты в ОГЭ

1. Простые процентные расчеты

Пример задачи:  

В классе 25 учеников. 40% из них занимаются спортом. Сколько учеников занимаются спортом?

Решение:  

(25 × 40) / 100 = 10 учеников

Ответ: 10

2. Изменение величины на процент

Важно: При последовательных изменениях используем умножение:

Увеличение: ×(1 + p/100)

Уменьшение: ×(1 - p/100)

Пример задачи:  

Цена товара составляла 2000 рублей. Сначала ее повысили на 10%, затем понизили на 15%. Какова окончательная цена?

Решение:  

1. После повышения: 2000 × 1.10 = 2200 руб.  

2. После понижения: 2200 × 0.85 = 1870 руб.

Ответ: 1870 рублей

3. Задачи на вклады и кредиты

Пример задачи:  

Вкладчик положил в банк 50 000 рублей под 8% годовых. Какая сумма будет на счету через 2 года при ежегодном начислении процентов?

Решение:  

1. После 1 года: 50000 × 1.08 = 54000 руб.  

2. После 2 года: 54000 × 1.08 = 58320 руб.

Ответ: 58320 рублей

4. Задачи на концентрации и смеси

Пример задачи:  

Смешали 4 кг 15%-го раствора соли и 6 кг 25%-го раствора. Какова концентрация полученной смеси?

Решение:  

1. Соль в первом растворе: 4 × 0.15 = 0.6 кг  

2. Соль во втором растворе: 6 × 0.25 = 1.5 кг  

3. Общая масса смеси: 4 + 6 = 10 кг  

4. Общая масса соли: 0.6 + 1.5 = 2.1 кг  

5. Концентрация: (2.1 / 10) × 100% = 21%

Ответ: 21%

Разбор сложных задач

Задача 1 (повышенной сложности):

Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 25%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену?

Решение:  

1. После первого снижения: 1 × 0.80 = 0.80  

2. После второго снижения: 0.80 × 0.75 = 0.60  

3. Общее снижение: 1 - 0.60 = 0.40 или 40%

Ответ: 40%

Задача 2 (реальная математика):

В магазине акция: "При покупке двух товаров — скидка 30% на второй". Покупатель выбрал товары за 400 и 600 рублей. Сколько он заплатит?

Решение:  

1. Первый товар: 400 руб. (без скидки)  

2. Второй товар со скидкой: 600 × 0.70 = 420 руб.  

3. Итого: 400 + 420 = 820 руб.

Ответ: 820 рублей

Алгоритм решения процентных задач

1. Внимательно прочитайте условие — определите, что дано и что нужно найти

2. Определите тип задачи — простой процент, изменение величины, смеси и т.д.

3. Переведите проценты в десятичную дробь — разделите на 100

4. Выберите подходящую формулу или последовательность действий

5. Выполните вычисления — используйте черновик для промежуточных расчетов

6. Проверьте ответ — оцените его правдоподобность

Частые ошибки и как их избежать

1. Путаница между "на сколько" и "во сколько"  

Увеличение на 50% (стало 150%) ≠ увеличение в 50 раз (стало 5000%)

2. Неправильный порядок действий при последовательных изменениях  

 - Всегда работайте с текущим значением, а не с первоначальным

3. Ошибки в вычислениях  

  - Перепроверяйте каждое действие

  - Используйте калькулятор для сложных расчетов

4. Неверное определение базового значения  

  - Четко определяйте, от какого числа берется процент в каждом случае

Полезные советы для подготовки

1. Запомните основные соотношения:

  50% = 1/2

  25% = 1/4

  20% = 1/5

  10% = 1/10

2. Тренируйтесь решать устно простые процентные задачи

3. Составляйте таблицы для сложных задач с несколькими изменениями

4. Решайте задачи из открытого банка ОГЭ — это лучшая подготовка

Практические задания для самостоятельного решения

1. Цена товара снизилась с 800 до 680 рублей. На сколько процентов снизилась цена?

2. В школе 850 учеников. 56% из них — девочки. Сколько мальчиков в школе?

3. Вклад в банке увеличился за год с 20000 до 22400 рублей. Каков процент годовых?

4. Смешали 3 кг 10%-го раствора соли и 7 кг 20%-го раствора. Найдите концентрацию новой смеси.

Ответы:  

1. 15% ((800-680)/800×100)  

2. 374 (850×(100-56)/100)  

3. 12% ((22400-20000)/20000×100)  

4. 17% ((3×0.10+7×0.20)/10×100)

Задачи на проценты в ОГЭ проверяют вашу способность применять математику в реальной жизни. Для уверенного решения:

1. Выучите основные формулы и алгоритмы

2. Понимайте разницу между типами процентных задач

3. Тренируйтесь на реальных примерах из экзамена

4. Развивайте навыки быстрых вычислений

5. Анализируйте свои ошибки

Помните: процентные расчеты — это не только экзаменационные задания, но и важный жизненный навык. Освоив их, вы сможете легко рассчитывать скидки, банковские проценты и анализировать статистические данные в повседневной жизни.