Рассмотрим две равенства
Это равенство будет выполняться при любых значениях переменной а. Областью допустимых значений для того равенства будет все множество вещественных чисел.
Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной а, кроме а равного нулю. Областью допустимых значений для этого неравенства будет все множество вещественных чисел, кроме нуля.
О каждом из этих равенств можно утверждать, что оно будет верно при любых допустимых значениях переменных а. Такие равенства в математике называются тождествами.
Понятие тождества
Тождество - это равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. Если в данное равенство подставить вместо переменных любые допустимые значения, то должно получиться верное числовое равенство.
Стоит отметить, что верные числовые равенства тоже являются тождествами. Тождествами, например, будут являться свойства действий над числами.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
5. a*b = b*a;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
8. a + 0 = a;
9. a*0 = 0;
10. a*1 = a;
11. a*(-1) = -a.
Если два выражения при любых допустимых переменных соответственно равны, то такие выражения называют тождественно равными. Ниже представлены несколько примеров тождественно равных выражений:
Мы всегда можем заменить одно выражение любым другим выражением, тождественно равным первому. Такая замена будет являться тождественным преобразованием.
Примеры тождеств
Пример 1: являются ли тождествами следующие равенства:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
4. a-b = b-a.
Не все представленные выше выражения будут являться тождествами. Из этих равенств тождествами являются лишь 1,2 и 3 равенства. Какие бы числа мы в них не подставили, вместо переменных а и b у нас все равно получатся верные числовые равенства.
А вот 4 равенство уже не является тождеством. Потому что не при всех допустимых значениях это равенство будет выполняться. Например, при значениях a = 5 и b = 2 получится следующий результат:
5 - 2 = 2 - 5;
3 = -3.
Данное равенство не верно, так как число 3 не равняется числу -3.