Представьте, если сможете (а это, честно, требует некоторого усилия воображения, оторванного от привычной нам упорядоченности вещей вроде столов или расписания автобусов), что все числа – все эти 1, 2, 3, 4, 5... и так далее, до абсурдно больших величин, которые вы даже представить не можете, – построены из каких-то фундаментальных кирпичиков. Не как дом из одинаковых блоков, нет. Скорее, как любая химическая субстанция в вашем теле прямо сейчас – из атомов. Только эти математические "атомы" – они особенные. Их нельзя разобрать дальше. Никаким умственным молотком, никакой интеллектуальной кислотой. Вы пытаетесь их разделить на целые положительные куски больше единицы? Фигушки. Они стоят там, на числовой прямой – 2, 3, 5, 7, 11, 13... – как маленькие, невероятно твердые, абсолютно неделимые булыжники. Их зовут простыми числами. И вот в чем парадокс, который уже много веков сводит с ума самых умных людей на планете: эти самые фундаментальные "кирпичики" всего числового здания ведут себя не как послушные, предсказуемые кубики Лего, а как... ну, представьте себе мешок с булыжниками, который кто-то с невероятной, садистской силой швырнул вдоль бесконечно длинной дороги. Они разлетелись. И вот они там лежат. Где-то кучками (типа 11 и 13 – "близнецы"), где-то огромные пустые пропасти тянутся на сотни, тысячи, миллионы чисел без единого простого булыжника. Полный, абсолютный, вызывающий тошноту хаос.
Основная теорема арифметики – это, по сути, констатация этого атомарного статуса. Она говорит: "Любое число больше 1? Разобьешь его на простые множители. И только одним способом." Это как ДНК числа. Его уникальный простой код. Это утешительно. Порядок! Структура! Как хороший словарь. Древние греки, с их страстью к порядку (и решеткам), даже придумали алгоритм для "просеивания" этих атомов из общей числовой грязи – Решето Эратосфена. Гениально просто: берешь число (2), объявляешь его простым атомом, а потом методично, как бульдозер, вычеркиваешь все его "составные" потомки дальше по прямой (4,6,8...). Потом берешь следующее невычеркнутое (3) – атом! – и вычеркиваешь его кратные (9,15,21...). И так далее. Медленно, верно, неумолимо. Это как… ну, как очень старательная, немного скучноватая уборка космического масштаба. Вы получаете список атомов. Но никакого понимания почему они сидят именно там, где сидят. Решето находит, но не объясняет. Оно просто констатирует факт их разбросанности.
И вот тут вступает Она. Гипотеза Римана. Представьте себе не числовую прямую, а какой-то… ну, сложный, извивающийся, почти зловещий математический ландшафт, порожденный странной функцией (дзета-функцией Римана), которая как-то связана с распределением этих самых простых атомов. Риман, этот титан 19 века, посмотрел на этот ландшафт и высказал гипотезу. Суть её (грубо, очень грубо, и простите мне, специалисты, это кощунственное упрощение) в том, что все действительно важные, фундаментальные "нули" этой функции – точки, где ландшафт опускается до уровня моря, так сказать – сидят строго на одной критической линии в этом сложном пространстве. Если это правда – а все вычисления, все триллионы проверенных нулей кричат, что правда, но доказательства НЕТ – то распределение простых чисел, этот кажущийся абсолютно хаотичный разброс булыжников, на самом деле подчиняется глубочайшей, невероятно сложной, но совершенной гармонии. Скрытому порядку. Музыке сфер для атомов арифметики. Это ключ ко всему. К пониманию самой природы чисел. Квантовая механика для математики. Её важность? Она – Святой Грааль. Доказательство взорвет математику, как Большой Взрыв. Это не преувеличение.
А теперь ирония, почти постмодернистская: эти самые непокорные, хаотично разбросанные атомы, эти воплощения фундаментальной (возможно, иллюзорной?) сложности, – они лежат в основе того, что защищает ваши банковские переводы и переписку прямо сейчас. Алгоритм RSA. Его гениальность (и ужас для спецслужб) в том, что легко взять два огромных простых атома и перемножить их. Получится чудовищно большое составное число – ваш "публичный ключ". А вот чтобы разобрать это число обратно на два изначальных простых атома? При текущем уровне математики и вычислительной техники? Это потребует времени, сравнимого с возрастом Вселенной. Ваша цифровая безопасность зиждется на непредсказуемости и трудности разложения, вытекающих из того самого хаотичного распределения простых чисел, которое Гипотеза Римана пытается обуздать. Безопасность мира зависит от нашего непонимания фундаментального разброса атомов, из которых этот мир (числовой) построен. Есть в этом что-то глубоко… человеческое, не находите? Мы строим порядок (криптографию) на фундаменте хаоса (распределения простых), в котором отчаянно ищем скрытый порядок (Гипотеза Римана), который, если найдем, может этот самый построенный порядок (RSA) разрушить. Математика, господа. Это не просто цифры. Это сама наша попытка понять, что значит "быть", "быть целым", "быть фундаментальным" и "быть абсолютно, безнадежно, но, возможно, прекрасно… случайным". Или нет? Риман, наверное, знал ответ. Или просто очень надеялся. "Frage stellen ist leicht, sie zu beantworten schwer." (Задать вопрос легко, ответить на него трудно.) Вот именно.