Минутка математики. Дисперсия

Понятие «дисперсия» предложено Рональдом Фишером в статье о генетике популяции в 1918 году.

Дисперсия D(X) это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 (1),

где M(X^2) средний квадрат значений ряда чисел

(M(X))^2 квадрат среднего значения ряда чисел

Рассчитать математическое ожидание не всегда возможно из-за нехватки данных. В этом случае используется формула 2

S2 = x2¯ − x¯2 (2),

где S2 — дисперсия, x2¯ — средний квадрат значений чисел ряда, x¯2 — квадрат среднего арифметического ряда.

Дисперсия позволяет выполнить анализ разброса значений вокруг среднего значения (доход, спрос, постоянные и переменные затраты и т. д).

Пример 1

Предположим, что доход компании в зависимости от ситуации на рынке может принимать значения 1 млн. руб. с вероятностью 0,5, 2,5 млн. руб. с вероятностью 0,3 и 5 млн. руб. с вероятностью 0,2.

Необходимо рассчитать дисперсию ряда.

Решение

Вычислим математическое ожидание дохода.

М(X) = 1*0,5+2,5*0,3+5*0,2=2,25 млн.

Рассчитаем квадрат математического ожидания дохода.

М(X)^2 = 2,25*2,25=5,0625

Рассчитаем математическое ожидание квадрата дохода.

M(X^2) =1*0,5+2,5^2*0,3+5*5*0,2=7,375

Подставим получившиеся значения в формулу 1.

D(X) = 7,375-5,0625=2,3125