Уверен, что каждому из нас хотелось выиграть в игре, где присутствует момент случайности (или как сейчас модного говорить "рандомности") и показать свою "везучесть" перед другими. Но давайте взглянем на эту ситуацию со стороны математики, а конкретно с точки зрения теории вероятностей.
Допустим, вы бросаете кость (кубик) с 6-ю гранями, обычный, нормальный кубик. Вам первый раз выпадает число 1. Второй раз тоже 1. Третий раз - тоже 1. Ваши нервы начинают сдавать, ведь вы хотели не число 1, а 6-ку. И вот на четвертый раз на выпадает 6. Вы радостны и счастливы. И вы невольно задаетесь вопросом. А сколько раз нужно бросить кубик, чтобы гарантированно получить число 6? Мы посмотрим на эту ситуацию со стороны математики. Скажу сразу, что гарантированно получить "на выходе" число 6 не получится. Почему? Узнаем в конце.
Сформулируем задачу более строго.
- Пусть мы проводим n независимых испытаний (экспериментов), в каждом из которых вероятность успеха равна p. Требуется найти минимальное число n (число испытаний, бросков), при котором вероятность получить хотя бы один успех (это то, что мы и хотим) будет не меньше заданного значения P.
Т.е. мы хотим чтобы P=1.
(Вероятность достоверного события равна 100%. Но математики вероятность измеряют не в % а в долях. Т.е. 100%=1.
Запись P=1 и P=100% означают одно и тоже, но мы будем придерживаться правил математики.)
Вернемся к решению задачи.
Нам известна вероятность успеха в независимом испытании, она равна p. Значит вероятность неудачи равна q=1-p.
Аналогично, вероятность одного успеха равна P(один успех)=1-P(нет ни одного успеха). (P(один успех)=P по условию нашей задачи).
P(нет ни одного успеха) можно посчитать, как вероятность того, что все эксперименты оказались неудачными. У нас испытания независимы, значит мы будем перемножать вероятность неудачи n раз, т.е.
Но q=1-p, используем этот факт:
Вероятность одного успеха равна P(один успех)=1-P(нет ни одного успеха). P(нет ни одного успеха) мы уже нашли. Теперь просто подставляем:
Теперь просто посмотрим на полученное выражение. Заметим, что P и p известные величины. Нам не известна только одна. Это n, то, что мы и ищем. Остается дело за малым, всего лишь выразить n из полученного нами выражения.
Вот наше выражение. Наша задача теперь - это выразить n.
Переносим единицу, меняя ее знак:
Умножаем обе части уравнения на -1:
Далее, чтобы избавиться от n, которая является степенью, мы берем логарифмы левой и правой части. Не обязательно брать натуральный или десятичный логарифм. Можно брать логарифм любого основания, лично мне больше нравится натуральный. Логарифмируем:
Ну и все. Делением выражаем n :
Вот наша итоговая формула.
Вернемся к вопросу, почему нельзя достичь 100% вероятности. Все просто: посмотрите на числитель. Если вместо P подставить 1, то мы получим ln0. А такое выражение просто не имеет смысла. Из-за этого мы и не сможем достигнуть 100%-ой вероятности, что совершенно логично. Тот, кто понимает почему ln0 не имеет смысла, может доказать это в комментариях.
Учитывая тот факт, что у нас не может быть полтора испытания (сразу вспоминаем полтора землекопа), воспользуемся округлением в большую сторону (функцией "потолок"). На языке математики это выглядит так:
Напомню, что p - это вероятность успеха.
А P - та вероятность, к которой мы стремимся при проведении n испытаний.
Пример.
Если вероятность успеха в одном эксперименте p=0.05 (5%), и нужно, чтобы вероятность получить хотя бы один успех была P=0.95 (95%), то
То есть нужно провести минимум 59 экспериментов (Почему не 58? Потому, что не забываем про функцию "потолок", т.е. всегда округляем в большую сторону).
Оцените статью в комментариях, выразите свое мнение на этот счет или предложите свое решение этой задачи!
Всего доброго, мои читатели!