Рассмотрим задачу нахождения условного экстремума функции двух переменных. Необходимо найти минимум функции при ограничениях (не только линейных) в виде неравенств. Начнём решение задачи с помощью «Геогебры».
Первое неравенство задаёт круг с центром в точке (0;0) и радиусом 2. Второе неравенство – это область под прямой линией. Пересечение этих множеств задаёт часто этого круга ниже прямой. Теперь мы наглядно представляем допустимое множество.
Далее разберёмся с целевой функцией. Она всегда неотрицательна и минимальна (равна нулю), когда полные квадраты зануляются, то есть в точке (-2;3). Линии уровня этой функции – «почти окружности», а именно эллипсы. Напомним канонические записи окружности и эллипса (окружность – частный вид эллипса).
Таким образом, линии уровня целевой функции – это эллипсы с центром в точке (-2;3). Чем больше «радиус» эллипса, тем больше значение целевой функции. Тривиальный «начальный» эллипс – это точка (эллипс с нулевым «радиусом»). Точка (-2;3) находится выше нашего допустимого множества. Поэтому нас интересует первый «эллипс», который пересечёт или коснётся допустимого множества (часть круга). Для наглядности нарисуем линии уровня целевой функции (функция принимает значения 1, 2, 3, 5).
Эллипсы расширяются по мере увеличения значений целевой функции. На рисунке видно, что при значении f=3 эллипс ещё не достаёт до допустимого множества, а для f=5 уже сильно «забегает» в допустимое множество. Помним, что нам нужно наименьшее значение функции на допустимом множестве.
У нас две искомые точки «входа» эллипса на территорию допустимого множества: касание эллипса и окружности, пересечение окружности и прямой. Geogebra легко ищут точки пересечения прямой и окружности. Нас интересует «ближайшая» точка A(-0,73; 1,86). Самому точки пересечения можно легко найти через решение системы:
Далее найдём точки касания окружности и эллипса. В точках касания производные для линий уровня совпадают (отношения частных производных равны).
Получается, что точки касания линий уровня целевой функции и окружности лежит на кривой 2y=xy-6x. Чертим её в Geogebraи находим точку пересечения с нашей исходной окружностью. В итоге мы получили две «конкурирующие» точки (A и C). Подставляем их в исходную целевую функцию и понимаем, что в точке C значение функции меньше (4,15), чем в А (4,21).
Таким образом, условный минимум будет достигаться в точке (-0,86; 1,81) и составит 4,15.
Аналогичное решение быстро находить и Эксель через надстройку «Поиск решения»:
Эту задачу можно решить и полностью аналитически через систему уравнений Куна-Такера (аналог функции Лагранжа), но задача была показать возможности базовых программ (Геогебра и Эксель), которые можно использовать в учебном процессе. Единый файл решения можно скачать в тут.
Спонсор данного разбора - русский поезд. Пока доедешь с Кубани в Москвы, то можно перерешать почти все скопившиеся задачи. Ну и, конечно, ученики со всего мира, которые часто подкидывают интересные задачки и вызовы по математике и экономике на русском и английском языке. Вот недавно опять были Штаты и Англии. Русская школа математики легко ориентируется в англоязычных программах лучших англосаксонских колледжей и университетов.
Но у нас кампусы нынче пошли не хуже. Чего только стоит весенний бал в Лицее в г. Усть-Лабинске (Первый Лобачевского - филиал МГУ в г. Усть-Лабинске). Это примерно в 1-1,5 часах езды от уже легендарного Краснодара, где команда Сергея Галицкого обскакала по футболу федералов.
#педагогика #преподавание #егэ #экономика #математика #ib #alevel #научение #экономика #эконометрика #микроэкономика #макроэкономика #НамНужнаИнаяШкола #ЯндексПрактикум #ЗФТШ #МФТИ #Физтех #ДПО #ЦентральныйУниверситет