Предыстория такая, автор (то есть я) случайным образом наткнулся, что на пересечении массивов отрезков прямых в общем случае равномерно расположенным (делящим окружность точками касания на целое число частей) касательно окружностям концентрическим центральной точке, при этом должна быть разница в количестве отрезков, при равном количестве точки пересечения находятся на окружностях. Уфф, как длинно и всё равно непонятно! Ну ладно, ещё картинки будут. В общем не найдя ничего похожего в поисковике "Яндекс" решил своим удивлением поделиться с широкой публикой. Сейчас же, по прошествии некоторого времени, думается, да мало ли чего в поисковиках нет! Там вообще ничего путного не найдёшь, свалено всё без разбору!
Ну и плюс осталось ощущение, что не всё изложил, показал, многое осталось "за кадром". И этого надо бы добавить и того. Излагать буду не с самого начала, а как продолжение первой статьи. В этот раз выберем для рассмотрения массив 14-15, принципиальной разницы тут всё равно нет. Посмотрим как меняется форма спирали при изменении взаимного углового положения начальных отрезков массивов от 30° до 90°.
И тут конечно не вся полнота, комбинаторика взаимных положений гораздо больше, но для общего представления достаточно. А не влияет ли форма спирали на передаточное отношение? Формула
говорит, что никак не влияет, но чисто ради любопытства посмотрим.
Синхронно вращаются, формула права. Здесь мы рассматриваем данные изображения как механические передачи. Спираль - входное звено, задаёт перемещение точек пересечения (что и как она цепляет в точках пересечения оставляем за скобками - не придумано пока.) Массив чёрных отрезков рассматриваем соответственно опорным звеном (он неподвижен), а массив красных отрезков выходным звеном. Спирали назначим угловую скорость равную 1 (единице). Почему единице? А её можно на любое число умножить и даже с размерностью, например 1/с. Угловая скорость выходного звена (красных отрезков) будет соответственно 1/15. Попробуем поступить с ними как с механизмами, остановить входное звено, то есть спираль, приложив обратную угловую скорость на все звенья, включая опорное. Спираль становится неподвижным опорным звеном, прежнее опорное звено (массив черных отрезков, числом 14) становится входом с угловой скоростью 1 но уже в обратную сторону, а массив красных отрезков (числом 15) остаётся выходным звеном, но уже с угловой скоростью 1-1/15=14/15 и тоже в обратную сторону. А впрочем всё равно в какую сторону, это зависит только от того в какую сторону вращалась спираль до мысленного наложения обратной угловой скорости на все звенья включая опорные. В данном случае польза от применения способа наложения обратного вращения в том, что мы заранее (до создания анимации) узнали новые скоростные соотношения, передаточное число
ну а в других случаях польза может быть не столь очевидна, посмотрим на примере простейшей планетарной передачи.
Здесь наложением обратной угловой скорости остановлено водило, на втором рисунке показан план скоростей с соответствующими окружными скоростями. Ну и соответственно к звеньям приложены угловые скорости соответствующие данному плану скоростей (это немного "за кадром"), у центрального (солнечного) колеса немного убавилась, к сателлиту прибавилась (совпадение направлений), а внешнее (коронное) колесо приобрело скорость от нуля. Вроде и не надо было мудрить, просто представить, что водило неподвижно и всё. Не совсем так, но и не предмет для "жаркого" спора. Есть еще случай, когда мысленная остановка подвижных осей (водила) полезна. Встречался мне как-то патент на бесступенчатую зубчатую передачу (вариатор) с наклонным зубчатым колесом. Ну и как это всегда бывает у людей не отягощенных знаниями теоретических основ механики (кинематики в данном случае), автор просто-таки приписывает этому наклонному колесу аж то ли магические, то ли мистические свойства. Обратите внимание на наклонное колесо! Главное тут наклонное колесо! Это из его описания к патенту. А чего там мистического, магического? Остановил мысленно его ось, представил неподвижной, вот и нет ничего - простая передача! И еще, почему их не останавливает такая простая мысль - было бы так просто, давно бы придумали, ведь сколько светлых голов во все века было! Загадка сия велика есть! Иногда случается, что им кажется, будто они придумали и они делают вот такие непродуманные заявления -
Уважаемый главный клоун, я не страдаю. Я добился, чего хотел и от этого балдею, как мальчишка:
-передачи крутящего момента с максимальным КПД на обе оси;
-плавности хода, от 0 до заданной величины, при постоянной угловой скорости двигателя;
-реверсивности движения;
-легкости в управлении;
-компактности и простоты;
Я смоделировал в 3D и у меня получилось. Я сделал это - зубчатый вариатор!!!.
Теперь же, хочу понять, смогут ли другие, работающие в офисах и получающие офигенные деньги лишь за то, чтобы усовершенствовать имеющиеся АКП, а не кардинально перестроить свой ум, свои мозги и найти неординарные решения.
Это с форума на SciTecLibrary взято, чтобы было понятно. То ли мистификация, то ли добросовестное заблуждение, не поймёшь. Во всяком случае тема там давно заглохла, с настоящим зубчатым вариатором такое вряд ли бы произошло.
Не даётся задача бесступенчатого регулирования передаточного отношения механизмами с зацеплением (не фрикционным) решению. Со стороны математики что ли запрет? Не ясно. Но встречаются и "весёлые" изобретения - вот пожалуйста.
Комментировать тут абсолютно нечего. "Осенило" кого-то. Возвращаемся к спиралям.
Ну да, без разницы способу наложения обратного вращения шестерни или спирали, всё получилось по заранее рассчитанному.
Вот ещё что попробуем, попробуем сократить количество отрезков в массивах. Как такая мысль возникла не могу сказать, но раз возникла надо проверить.
Радикально сокращаем. Из четырнадцати чёрных отрезков (они выполняют роль опорного звена) оставляем семь, причём по разному, первый раз удаляя через один, а второй раз удаляя семь подряд. Остаются семь на другой стороне. Ну а массив красных отрезков (выходное звено) сокращаем сразу в три раза - из пятнадцати оставляем пять. Получилось два варианта совмещения. Проверяем оба.
Два (временами три) пересечения (то есть зацепления) можно разглядеть. Вот так, число элементов зацепления сократили, а передача сохранила работоспособность, передаточное число - 15. Ну не передача конечно, это пока теория о передаче, но всё же. Возможно ли сокращение числа зубьев в волновой передаче? Абсолютно невозможно. С чем-то очень интересным мы тут столкнулись. Ну а догадка всё-таки была, правда она очень смутная, где-то на уровне как сон у верблюда. Можно так сформулировать - по любым двум оставшимся рискам от деления окружности на равные части, можно определить первоначальное число делений или число делений кратное ему. Наверное есть тут какая-то связь. Вот картинка для наглядности, показаны различные разбиения окружностей штрихами, красные осевые линии показывают места начала спиралей при таком же количестве отрезков в массивах отрезков прямых (отсыл к первой части статьи).
Попробуем подобраться к нахождению аналитического выражения для данного типа спиралей. Сделаем следующие построения - радиальные отрезки продлим до центра, от начала касательных отрезков проведём перпендикуляры тоже до центра. Образовавшиеся секторы(а) закрасим для наглядности. Вот и зависимость, слишком уж наглядная чтобы не заметить. По мере возрастания угла отклонения радиальных отрезков от начального положения 0° (обозначим его углом α) угол сектора за ним тоже растёт и равен углу α/15 - где 15 передаточное отношение. Это можно также представить как вращение радиального отрезка с угловой скоростью ω=1, а вращение касательного с угловой скоростью ω=(1-1/15)=14/15, то есть с отставанием.
До угла 360° наглядность полная, ну а дальше придётся дать отдельные изображения, чтобы избежать наложений. Сохраняется таже закономерность, угол отсчитывается по мере возрастания (720°=2 оборотам).
Ну и для произвольного положения текущего угла α, такое изображение
Ну а конечная формула связывающая текущее значение радиус-вектора, пройденный угол и i - цифры которая в зависимости от того, как мы рассматриваем, как передачу или просто как спираль означает либо передаточное число, либо любое произвольное число, выглядит вот так
То есть слишком даже проста, ожидал чего-то более сложного. Такая же формула описывает форму спиралей и в других случаях упоминаемых в первой статье - обратная закрутка, количество спиралей равное разности в неподвижном (опорном) и подвижном массивах отрезков. Но формула описывает только форму спиралей, но не отвечает на вопросы - а почему обратная закрутка? Почему число спиралей равно разности количества отрезков? Почему они равномерно делят полный угол относительно точки? Представление формулы передаточного числа I в развёрнутом виде тоже не даёт ответов на эти вопросы, а даёт только намёки - знак "-" при аргументе косинуса обратная закрутка, число равное разности отрезков в знаменателе количество спиралей (ну или и то и другое вместе). Видимо дополнительно к этой формуле надо упоминать, что для целочисленных значений I существуют массивы отрезков в которых можно построить эту же спираль по точкам их пересечения. Рассматривать отдельно видимо не получится. А вот обхитрить, сделать бесступенчатую передачу, просто разбив окружность произвольным шагом не получится - сектор разрыва образуется при этом, который спираль не проходит без сбоя от точек пересечения. Очень крепкая оборона у задачи бесступенчатого регулирования передаточного отношения (не скорости, как многие легкомысленно произносят) вращательного движения. Скорость это уже производная от передаточного отношения. Решит ли кто её? Нурбей Гулиа (изобретатель супермаховика) бился над ней, для съёма вращения с маховика очень желательно плавно менять передаточное отношение на ходу, ведь маховик тормозится при отборе мощности, но слышал только о многоступенчатой передаче названной супервариатором.
На этом я хочу поставить точку пока в разговоре о спиралях. Случайно наткнулся, показал то в чём мне по силам разобраться, ну и пожалуй хватит.
С точки зрения механических передач гораздо интереснее аналогичные разбиения на цилиндрических поверхностях. То есть основания цилиндров делятся на равные части. Если разбить опорное звено на 14 частей, а подвижное на 15 или 14-15 как я обозначал до этого получится тоже передаточное число 15, только на пересечении отрезков будет не спираль, а винтовая линия, что гораздо проще. А на развёртке просто наклонный отрезок. Выглядеть это будет вот так - длинная сторона это развёртка боковой поверхности цилиндра 2πR, первый и последний отрезки это один и тот же отрезок.
Сохраняется главное интересное качество такого типа "передач" (в кавычках пока) - сохранение работоспособности после "прореживания" элементов зацепления. На гифке ниже "прореживание" аналогичное сделанному ранее.
Вопрос что же находится в месте пересечения отрезков и приводится в движение винтовой линией остаётся пока открытым. В первом приближении можно сказать что шарики, но думается найдётся и лучшее решение.