В этой статье вы узнаете о задачах про четырёхугольники из 15 задания ОГЭ по математике 2025.
Все задачи были найдены в открытом банке заданий ОГЭ. В банке периодически появляются новые задания, поэтому я оставлю здесь это:
Дата последнего обновления: 24.05.2025
Если обнаружу ещё какую-нибудь вариацию - во-первых, обновлю дату, во-вторых, сообщу об этом в посте на своём канале, на котором я рассказываю о подготовке к ОГЭ.
А теперь приступим к разбору заданий.
Разбор
Параллелограмм
Начнём с задачи про диагонали.
Задача 1. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, AC = 22. BD = 24, AB = 3. Найдите DO.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, следовательно, DO = BD / 2 = 24 / 2 = 12.
Ответ: 12
Далее рассмотрим задачи 2 и 3. Они почти идентичны.
Задача 2. Один из углов параллелограмма равен 91°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов при стороне параллелограмма равна 180°. Один из углов 91°, значит второй 180° - 91° = 89°.
Ответ: 89
Задача 3. Один из углов параллелограмма равен 74°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов при стороне параллелограмма равна 180°. Один из углов 74°, значит второй 180° - 74° = 106°.
Ответ: 106
Далее идут задачи 4 и 5. Они также почти идентичны.
Задача 4. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Углы ABD и CBD образуют угол B, который равен их сумме, то есть ∠B = 65° + 50° = 115°. Сумма углов при стороне параллелограмма равна 180°, один из углов 115°, значит второй 180° - 115° = 65°.
Ответ: 65
Задача 5. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Углы BAC и DAC образуют угол A, который равен их сумме, то есть ∠A = 25° + 30° = 55°. Сумма углов при стороне параллелограмма равна 180°, один из углов 55°, значит второй 180° - 55° = 125°.
Ответ: 125
Теперь задача про биссектрису.
Задача 6. Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла А образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
Биссектриса угла А делит его на два равных угла - DAC и BAC. BAC по условию равен 33°, значит и DAC равен 33°. Угол А равен сумме этих двух углов, то есть ∠А = 33° + 33° = 66°.
Ответ: 66
Далее рассмотрим задачи 7 и 8, связанные с площадью.
Задача 7. Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите его высоты. В ответ укажите большую высоту.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, которая проведена к этой стороне: S = a * h, где a - сторона, h - проведённая к этой стороне высота.
Подставим в эту формулу стороны и найдём высоты.
40 = 5 * h1 => h1 = 40 / 5 = 8.
40 = 10 * h2 => h2 = 40 / 10 = 4.
Ответ: 8
Задача 8. Площадь параллелограмма равна 48, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответ укажите меньшую высоту.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, которая проведена к этой стороне: S = a * h, где a - сторона, h - проведённая к этой стороне высота.
Подставим в эту формулу стороны и найдём высоты.
48 = 8 * h1 => h1 = 48 / 8 = 6.
48 = 16 * h2 => h2 = 48 / 16 = 3.
Ответ: 3
Прямоугольник
Задача 9. Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, BO = 24, AB = 45, Найдите AC.
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, то есть BO = BD / 2 => BD = 2 * BO = 2 * 24 = 48. Диагонали прямоугольника равны, значит AC = BD = 48.
Ответ: 48
Задача 10. Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника.
Для удобства введём обозначения: ABCD - прямоугольник, O - точка пересечения диагоналей. Допустим, угол DAO = 51°.
Треугольник DAO равнобедренный, так как AO = DO (диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам). Отсюда следует, что углы DAO и ADO равны. Тогда ∠AOD = 180° - ∠DAO - ∠ADO = 180° - 51° - 51° = 78°.
Ответ: 78
Ромб
Задача 11. Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Для удобства введём обозначения: ABCD - ромб, AH - высота. Допустим, угол A равен 150°.
Сумма углов при стороне ромба равна 180°, тогда угол ∠D = 180° - ∠A = 180° - 150° = 30°.
Треугольник ADH прямоугольный, так как АН - высота. Выразим в нём синус угла D: sinD = AH / AD. Отсюда AH = AD * sinD = 34 * 1/2 = 17. Либо можно воспользоваться теоремой о том, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, то есть AH = AD / 2 = 34 / 2 = 17.
Ответ: 17
Задача 12. Один из углов ромба равен 43°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов при стороне ромба равна 180°, один из углов 43°, значит второй 180° - 43° = 137°.
Ответ: 137
Задача 13. В ромбе ABCD угол ABC равен 84°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов при стороне ромба равна 180°, один из углов ∠ABC = 84°, значит ∠BCD = 180° - ∠ABC = 180° - 84° = 96°.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Диагональ AC является биссектрисой угла BCD и делит его на два равных угла ACB и ACD, каждый из которых равен половине угла BCD, то есть 96° / 2 = 48°.
Ответ: 48
Квадрат
Задача 14. Сторона квадрата равна 11√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Все углы квадрата прямые, поэтому диагональ делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника, гипотенузой которых является эта диагональ, а катетами - стороны квадрата. Запишем теорему Пифагора для одного из них:
с² = а² + a² = (11√2)² + (11√2)² = 242 + 242 = 484 => c = √484 = 22.
Либо можно воспользоваться формулой диагонали: d = a√2 => d = 11√2 * √2 = 22.
Ответ: 22
Трапеция
Задачи 15 и 16 почти идентичны.
Задача 15. Один из углов прямоугольной трапеции равен 64°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Трапеция прямоугольная, значит два угла в ней по 90°.
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°. Один угол равен 64°, значит второй 180° - 64° = 116°.
Ответ: 116
Задача 16. Один из углов прямоугольной трапеции равен 139°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Трапеция прямоугольная, значит два угла в ней по 90°.
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°. Один угол равен 139°, значит второй 180° - 139° = 41°.
Ответ: 41
Задачи 17 и 18 почти идентичны.
Задача 17. Один из углов равнобедренной трапеции равен 131°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°. Один угол равен 131°, значит второй 180° - 131° = 49°. Остальные два угла также 131° и 49°.
Ответ: 49
Задача 18. Один из углов равнобедренной трапеции равен 29°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°. Один угол равен 29°, значит второй 180° - 29° = 151°. Остальные два угла также 29° и 151°.
Ответ: 151
Задача 19. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 46°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Сумма двух углов равна 46°, значит это углы не при боковой стороне, так как сумма углов при боковой стороне равна 180°. Тогда это сумма углов при одном из оснований трапеции. Углы при основании равнобедренной трапеции равны, их сумма 46°, значит каждый из них по 46° / 2 = 23°.
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°. Один угол равен 23°, значит второй 180° - 23° = 157°.
Либо можно решить другим способом: сумма двух углов 46°, значит сумма двух других 360° - 46° = 314°, эти углы равны друг другу, то есть по 314° / 2 = 157°.
Ответ: 157
Задачи 20 и 21 на среднюю линию трапеции.
Задача 20. Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, то есть (8 + 18) / 2 = 26 / 2 = 13.
Ответ: 13
Задача 21. Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Диагональ трапеции делит её на два треугольника, при этом отрезки средней линии трапеции являются средними линиями этих треугольников. Тогда для большего треугольника средняя линия будет равна половине стороны, которой она параллельна, то есть 19 / 2 = 9,5.
Ответ: 9,5
Задача 22. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 3 и 11. Найдите длину основания BC.
Для удобства введём обозначения: ABCD - трапеция, CH - высота, AH = 11, HD = 3.
Проведём вторую высоту BM и получим два равных прямоугольных треугольника ABM и HCD (CH = BM как высоты, одна пара прямых углов и одна пара равных углов при основании равнобедренной трапеции). Из равенства треугольников следует, что AM = HD = 3.
Выразим отрезок AH : AH = AM + MH. Подставим имеющиеся данные: 11 = 3 + MH => MH = 11 - 3 = 8.
Рассмотрим четырёхугольник MBCH. Он является прямоугольником, так как высоты BM и CH образуют 4 прямых угла. Тогда BC = MH = 8.
Ответ: 8
Задача 23. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.
Для удобства введём обозначения: ABCD - трапеция, BM - высота, ∠DAB = 45°.
В треугольнике ABM угол MAB равен 45°, угол AMB прямой, тогда на угол ABM приходится 180° - 90° - 45° = 45°. Отсюда следует, что треугольник MAB равнобедренный => AM = MB = 5.
Проведём вторую высоту CH и получим два равных прямоугольных треугольника MAB и HCD (CH = BM как высоты, одна пара прямых углов и одна пара равных углов при основании равнобедренной трапеции). Из равенства треугольников следует, что AM = MB = CH = HD = 5.
Рассмотрим четырёхугольник MBCH. Он является прямоугольником, так как высоты BM и CH образуют 4 прямых угла. Тогда BC = MH = 6.
Выразим отрезок AD : AD = AM + MH + HC = 5 + 6 + 5 = 16.
Ответ: 16
Спасибо за прочтение
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал, ставьте лайк и оставляйте свой комментарий. Буду рада ответить на все.