В этой статье вы узнаете о задачах про треугольники из 15 задания ОГЭ по математике 2025.
Все представленные задачи были найдены в открытом банке заданий ОГЭ. В банке много заданий + появляются новые, поэтому я оставлю здесь это:
Дата последнего обновления: 23.05.2025
Если обнаружу ещё какую-нибудь вариацию - во-первых, обновлю дату, во-вторых, сообщу об этом в посте на своём канале, на котором я рассказываю о подготовке к ОГЭ.
А теперь приступим к разбору заданий.
Разбор
Равносторонний треугольник
Начнём с трёх очень похожих задач.
Задача 1. Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите высоту этого треугольника.
Задача 2. Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Задача 3. Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите медиану этого треугольника.
В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая к каждой стороне, является медианой и высотой. При этом все биссектрисы, медианы и высоты равностороннего треугольника равны между собой. Отсюда следует, что все эти задачи по сути решаются одинаково.
Для нахождения высоты равностороннего треугольника можно воспользоваться формулой:
h = a√3 / 2, где h - высота равностороннего треугольника, а - его сторона.
Тогда для задачи 1 высота равна 14√3 * √3 / 2 = 7 * 3 = 21. Для задачи 2 биссектриса равна 10√3 * √3 / 2 = 5 * 3 = 15. Для задачи 3 медиана равна 16√3 * √3 / 2 = 8 * 3 = 24.
Идём далее. Составители заданий часто по существующим задачам составляют новые, обратные, и как раз для задач 1-3 существуют обратные задачи.
Задача 4. Высота равностороннего треугольника равна 15√3. Найдите сторону этого треугольника.
Задача 5. Биссектриса равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.
Задача 6. Медиана равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.
Воспользуемся той же формулой. Если h = a√3 / 2, то a√3 = 2h => a = 2h / √3.
Тогда для задачи 4 сторона равна 2 * 15√3 / √3 = 30. Для задачи 5 сторона равна 2 * 12√3 / √3 = 24. Для задачи 6 сторона равна 2 * 9√3 / √3 = 18.
Прямоугольный треугольник - тригонометрия
Задача 7. В треугольнике ABC угол С равен 90°, cosB = 5/6, AB = 18. Найдите BC.
Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Значит cosB = BC / AB => BC = AB * cosB = 18 * 5/6 = 3 * 5 = 15.
Ответ: 15
Задача 8. В треугольнике ABC угол С равен 90°, tgB = 3/4, BC = 12. Найдите AC.
Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Значит tgB = AC / BC => AC = BC * tgB = 12 * 3/4 = 3 * 3 = 9.
Ответ: 9
Задача 9. В треугольнике ABC угол С равен 90°, sinB = 7/12, AB = 48. Найдите AC.
Cинус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Значит sinB = AC / AB => AC = AB * sinB = 48 * 7/12 = 4 * 7 = 28.
Ответ: 28
Задачам 7-9 тоже есть обратные.
Задача 10. В треугольнике ABC угол С равен 90°, BC = 16, AB = 25. Найдите cosB.
Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Значит cosB = BC / AB = 16 / 25 = 0,64.
Ответ: 0,64
Задача 11. В треугольнике ABC угол С равен 90°, BC = 5, AC = 3. Найдите tgB.
Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Значит tgB = AC / BC = 3 / 5 = 0.6,
Ответ: 0,6
Задача 12. В треугольнике ABC угол С равен 90°, AC = 16, AB = 40. Найдите sinB.
Cинус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Значит sinB = AC / AB = 16 / 40 = 0.4,
Ответ: 0,4
Прямоугольный треугольник - теорема Пифагора
Задача 13. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Применим теорему Пифагора:
с² = а² + b² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 => c = √289 = 17.
Ответ: 17
Задача 14. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Применим теорему Пифагора:
с² = а² + b² => a² = c² - b² = 41² - 40² = 1681 - 1600 = 81 => a = √81 = 9.
Ответ: 9
Углы в треугольнике
Задача 15. В треугольнике два угла равны 54° и 58°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов треугольника равна 180°. Отсюда, чтобы найти третий угол, нужно из 180° вычесть остальные два угла. Тогда третий угол равен 180° - 54° - 58° = 68°.
Ответ: 68
Задача 16. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Чтобы найти острый угол, нужно из 180° вычесть прямой угол и известный нам острый. Тогда искомый угол равен 180° - 90° - 23° = 67°. Либо можно воспользоваться теоремой о том, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, тогда, чтобы найти нужный угол, следует из 90° вычесть известный, тогда искомый угол равен 90° - 23° = 67°.
Ответ: 67
Задача 17. В треугольнике ABC угол С равен 159°. Найдите внешний угол при вершине С. Ответ дайте в градусах.
Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Тогда внешний угол равен 180° - 159° = 21°. Либо можно воспользоваться тем фактом, что угол при вершине С и внешний угол при этой вершине являются смежными, сумма смежных 180°, отсюда искомый внешний угол равен 180° - 159° = 21°.
Ответ: 21
Задача 18. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла АBC,
Внешний угол при вершине С равен 123°, значит угол С, смежный с ним, равен 180° - 123° = 57°. Угол А равен углу С, так как это углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда угол АВС = 180° - ∠А - ∠С = 180° - 57° - 57° = 66°.
Ответ: 66
Задача 19. В треугольнике АВС известно, что AB = BC,, ∠ABC = 108°. Найдите угол BCА. Ответ дайте в градусах.
AB = BC => ABC равнобедренный =>∠BAC = ∠BCA.
Сумма углов BAC и BCA равна 180° - ∠ABC = 180° - 108° = 72°. Углы равны, тогда каждый из них по 72° / 2 = 36°.
Ответ: 36
Отрезки в треугольнике
Задача 20. В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 48°. AD - биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Биссектриса AD делит угол BAC на два равных угла BAD и CAD, каждый из которых равен половине угла ВАС, то есть 48° / 2 = 24°.
Ответ: 24
Задача 21. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 82°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике ABH угол BАH по условию равен 82°, угол AHB 90°, так как BH - высота. Тогда на оставшийся угол ABH приходится 180° - 90° - 82° = 8°.
Ответ 8
Задача 22. В треугольнике АВС известно, что AC = 54, BM - медиана, BM = 43. Найдите AM.
BM -x медиана, следовательно, делит сторону AC на два равных отрезка AM и MC, каждый из которых равен половине AC, то есть 54 / 2 = 27
Ответ: 27
Задача 23. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольнике АВС, сторона АВ равна 28, сторона ВС равна 19, сторона АС равна 34. Найдите MN.
MN делит пополам стороны AB и BC, следовательно, MN - средняя линия. Тогда MN равен половине стороны, которую не пересекает, то его половине АС. MN = AC / 2 = 34 / 2 = 17
Ответ: 17
Спасибо за прочтение
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал, ставьте лайк и оставляйте свой комментарий. Буду рада ответить на все