Задание 25 ОГЭ про трапецию

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.

Решение. Сделаем чертеж к задаче. Он получится примерным, так как данные к задаче не располагают для построения точного чертежа. 

Сначала я построила окружность радиусом в три клетки.

Описала около нее равнобедренную трапецию. Обозначила АВСD.

Провела диагонали и отметила точку пересечения диагоналей P.

Провела перпендикуляр PH на меньшее основание. Это и есть расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.

Вспомним ещё раз все данные задачи и что нужно найти👇

Рассуждаем.

1) По свойству описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны, т.е. АВ+СD=BC+AD. Так как периметр трапеции равен 20, то АВ+CD=10 и ВС+АD=10. По условию трапеция равнобедренная, тогда AB=CD=5.

2) Из точки В опустим высоту ВЕ и найдем ее.

Известно, что площадь трапеции 20, сумма оснований АD и ВС равна 10.

Подставим эти данные в формулу площади трапеции и найдем ВЕ.

4) По теореме Пифагора найдем АЕ.

АЕ²=5²-4²=9. Отсюда АЕ=3

Из вершины С опустим ещё одну высоту СN. Длина ее тоже 4.

Треугольники АВЕ и DCN равны по катету и гипотенузе. Поэтому АЕ=ND=3.

Противоположные стороны прямоугольника равны. Отсюда ВС=ЕN.

4) Найдем ВС, вспомнив что ВС+АD=10.

BC+ЕN+AE+ND=10

2BC+2AE=10

2BC+6=10

2BC=4

BC=2

Итак, ВС=ЕN=2

Тогда АD= 3+2+3=8. По чертежу отрезок АЕ получился меньше, чем отрезок ВС, хотя АЕ =3, а ВС=2.

Сделаем более точный чертеж. Все данные для этого известны.

Строим окружность радиусом 2 см. Проведём нижнее основание трапеции 8 см, верхнее основание 2см, высоту трапеции 4 см. Теперь всё правильно. ВС<АЕ, 2<3.

5) Найдем РН.

Рассмотрим треугольники АРD и СРB. Они подобны по двум углам.

Угол 1 = углу 4 как накрест лежащие при ВСllAD и секущей ВD. Угол 2 =углу 3 как накрест лежащие при ВСllAD и секущей АС.

Вспомним свойство подобных треугольников: отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам.

Опустим высоту  РK на основание АD треугольника АРD.

Составим равенство отношений сходственных сторон и их высот 👇

ВС=2, АD=8. РН и РК неизвестны.

Высота трапеции ВЕ= 4, тогда НК тоже 4. Выразим РК через РН. РН+РК=4, отсюда РК=4-РH.

Подставим данные в пропорцию, решим её и найдем РН👇

РH=0,8

Ответ: расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания равно 0,8.

Как вам эта задача?

Она взята отсюда 👇

Может у вас есть другое решение? Было бы интересно взглянуть.

На этом, друзья мои, заканчиваю цикл статей по решению задач ВПР и ОГЭ. Канал мой сезонный. ВПР в школах прошли, ОГЭ - 3 июня. Беру небольшой перерыв в вещаниях.

Летом, как вы знаете, у меня огородные дела 😊.

В свободное время планирую публиковать занимательные задачи, головоломки, ребусы.

Читать своих друзей-блогеров буду, не отписывайтесь.

У нас идут дожди. Ещё ничего не сеяли, не садили.

Из цветущих пока только нарциссы в полисаднике

и фиалки в доме

Пишите, как у вас дела на дачах и в огородах. Какая красота на подоконнике?

Хорошего летнего отдыха всем нам, а девятиклассникам отличных оценок на экзаменах 😊

С вами автор - учитель математики Любовь Михайловна.