Но надо жить без самозванства,
Так жить, чтобы в конце концов
Привлечь к себе любовь пространства,
Услышать будущего зов.
Борис Пастернак
Всем, кто не спал в школе на уроках математики, знакома по 9-ому классу формула Герона для измерения площади треугольника по длинам его сторон.
где, p - полупериметр, т.е. p=(a+b+c)/2
Формула достаточно большая, громоздкая, но ОЧЕНЬ полезная в силу своей универсальности. У наиболее пытливых умов к старшим классам может возникнуть соблазн обобщить эту формулу на случай пространства - т.е. найти объем тетраэдра (треугольной пирамиды) по длинам его 6 ребер.
И тут эти пытливые умы ждет как правило жесткий облом. Ни в школьных учебниках, ни в стандартных вузовских ничего особо про это нет. Конечно, на самом деле высшая математика справилась с этой задачей при помощи ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ - и об этом расскажу в конце. Но так, вот чтобы была школьная формула со школьным ее доказательством... Вот тут облом.
Вехи в решении данной проблемы
1.Формула Герона (I-II в до н.э.)
Вывел свою формулу для треугольника можно сказать в таком виде (без полупериметров и квадратных корней)
Герона относят к величайшим инженерам за всю историю человечества. Он первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину
2.Николо Тарталья (XVI в)
выводил формулу объема тетраэдра по длинам ребер геометрически не в самом общем виде, но существенно продвинулся
Николо Тарталья - средневековый математик, был шутом при дворах европейской знати, решающим головоломки для развлечения богачей. Тарталья его прозвали за картавость. При этом это один из величайших математиков в истории, именно ему в частности удалось впервые в мире вывести формулы для решения алгебраических уравнений 3-ьей степени, которые у него украл прохиндей Кардано. И теперь они носят название "формулы Кардано"
3.Леонард Эйлер (XVIII век)
выводил формулу объема тетраэдра по длинам ребер геометрически в общем виде, но алгебраической записи не осталось
Леонард Эйлер крупнейший математик XVIII века, считается одним из величайших математиков в истории. Более половины своей жизни проработал в Российской Академии Наук в Санкт-Петербурге
4.Определитель матрицы Грамма (XIX век)
выводил формулу объема тетраэдра по длинам ребер алгебраически в общем виде с использованием определителей (высшая математика)
Датский математик. Основные направления исследований — математическая статистика, теория чисел и линейная алгебра. А вот она его матрица:
Если раскрыть этот определитель под корнем - компонентами которого являются скалярные произведения векторов (x,y)=|x|*|y|*cos(x,y) - можно получить общую громоздкую алгебраическую формулу
5.Бескодаров Александр, автор статьи (2004 год)
выводил формулу объема тетраэдра по длинам ребер геометрически + алгебраически в общем виде школьными методами (элементарная математика)
Считаю главной своей заслугой в данном вопросе не столько факт создания формулы, сколько метод ее выведения ПО ШКОЛЬНОМУ (я тогда учился в школе), а также вид этой формулы, удобный для использования - вот она:
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Мне удалось найти форму, в которой формулу ДАЖЕ МОЖНО ЗАПОМНИТЬ! Потому что все сводится к пониманию, какие ребра в тетраэдре являются скрещивающимися, а какие лежащими в одной плоскости
Подробности доказательства Вы сможете узнать на моих уроках)
6. Формулы Кэли — Менгера
Дальнейшие обобщения формулы Герона на N-мерный случай также имеются в математической науке и называются формулы Кэли — Менгера. Формула использует определитель, построенный из квадратов длин рёбер
А вот так это выглядит в раскрытом виде
Ну что - слабо запомнить?))) Мне мой вариант нравится больше ;)
Хотя разумеется никто не умаляет важность вычисления объема n-мерного тетраэдра (N мерного симплекса как его еще называют) по формулам Кэли — Менгера
Заключение
Такой простой, казалось бы вопрос
- измерить кусок пространства, замкнутый между 4-мя точками зная только расстояния между этими точками.
Так вот эту задачу я решил, причем методами школьной математики. Впоследствии оказалось, что эту задачу возможно решить чуть легче через высшую математику. Но откуда ее знать школьнику?
Поиск решения был похож на чудо: 3 дня в голове формировалась ключевая идея - затем была выписана формула длинной в целый лист А4, а потом 10 часов преобразований не отрываясь на много-много листов А4. Я 10 часов искал способы ее упросить, не прерываясь. И через 10 часов у меня на столе лежала магия - волшебное заклинание, короткое и красивое, дающее мне власть над пространством.
На тот момент в этой Вселенной это заклинание знал только я один. И способ его получить, новый способ - тоже знал только я. С тех пор моя жизнь никогда больше не была прежней. Я поверил в силу и магию науки. Я поверил в чудо, которое может совершить ученый - в принципиальную возможность создать абсолютно любую технологию, которую человек только способен себе представить.
Античные ученые говорили
- “Человек мечтает лишь о том, что может осуществить”.
Впоследствии я получил великолепное математическое образование, я бы сказал уникальное. Я преподавал в сильнейших московских математических школах детям - будущим гениям. И освоил в совершенстве все современные языки программирования.
Но то открытие из самого начала юности, та яркая звездочка в виде объема произвольного тетраэдра - освещала мой путь всегда и никогда не давала забыть, что границ нет - и все возможно.
Я осознал, что наука, она не только в древних книгах и заумных научных статьях. А вот она - у нас в руках, в нашей власти. И каждый из нас, КАЖДЫЙ - даже не имея никаких научных званий, напыщенного вида и трехслойных очков - может внести свой вклад, вписать свою строчку в развитие человеческой цивилизации. Какова же будет Ваша строчка?...
Вы можете поддержать автора тут
____________________________________________________________________________________
Привет! Меня зовут Александр Бескодаров, я математик, программист, учитель по призванию.
Как математик обладаю бесценным опытом преподавания в одной из 5-и сильнейших математических школ Москвы - 179-ой.
Как программист являюсь действующим разработчиком, руководителем разработки образовательной системы PANGEYA с элементами Искусственного Интеллекта.
В своей работе использую уникальную методику преподавания "ВСЕ В ЗАДАЧАХ", которая стимулирует ученика самого изобрести изучаемую область знаний с целью 100% усвоения информации. То, что человек сам придумал - он никогда не забудет и будет понимать до конца.
1.Заходите на мой сайт https://beskodarov.xyz
2.Записывайтесь на мои уроки через Telegram: https://t.me/beskodarovAV
3.Или по номеру телефона +7 977 145 47 27 (Whatsapp,Telegram)
4.Подписывайтесь на мой телеграмм канал, чтобы быть в курсе новых интересных фактов по математике и программированию https://t.me/superteachertg
5.Читайте отзывы обо мне на сайте profi.ru