Теорема о топологии внутри числового поля Σ и внешнем векторном пространстве
Автор: М.В.Елисеев, 2025
Аннотация
Представляется новая теорема, описывающая, как внутренняя топология и фаза в числовом поле Σ позволяют строить функциональные разложения без векторизации, а последующий выбор конечного набора фазовых осей преобразует Σ в нормированное пространство и далее — в привычное евклидово подпространство с классическими векторными операциями. Это даёт строгую иерархию: от чисто алгебраико-топологического поля к геометрическому векторному пространству.
Теорема (О структурировании Σ через внутреннюю топологию и внешнее векторное пространство)
Пусть:
Σ\Sigma — коммутативная дивизионная алгебра над R\mathbb{R} с базисом фазовых мнимых осей {ik}k=1∞\{i_k\}_{k=1}^\infty.
На Σ\Sigma введена топология нормой
∥z∥=∑k=0∞ak2+2∑1≤k<l<akalcos(θk−θl),\|z\| = \sqrt{\sum_{k=0}^\infty a_k^2 + 2\sum_{1\le k<l}<a_k a_l\cos(\theta_k-\theta_l)},
где z=a0+∑k=1∞akeiθkikz = a_0 + \sum_{k=1}^\infty a_k e^{i\theta_k} i_k.
Определён фазово-связный базис {eiθkik}\{e^{i\theta_k}i_k\} для разложения функций (невекторный разложитель).
Тогда:
Любая функция f:Σ→Σf : \Sigma \to \Sigma, непрерывная относительно этой топологии, допускает рядовое разложение
f(z)=∑k=0∞ck eiϕkikf(z) = \sum_{k=0}^\infty c_k\,e^{i\phi_k}i_k
по невекторному фазовому базису.
Выбор конечного набора фазовых осей {ik1,ik2,…,ikn}\{i_{k_1}, i_{k_2}, \dots, i_{k_n}\} и введение начала отсчёта 0∈Σ0\in\Sigma позволяют определить нормированное nn-мерное подпространство Vn⊂ΣV_n\subset \Sigma с координатной системой
z=x1eiθk1ik1+x2eiθk2ik2+⋯+xneiθknikn,z = x_1 e^{i\theta_{k_1}} i_{k_1} + x_2 e^{i\theta_{k_2}} i_{k_2} + \dots + x_n e^{i\theta_{k_n}} i_{k_n},
где (x1,…,xn)∈Rn(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n.
На VnV_n вводятся классические векторные операции:
сложение векторов (x)+(y)(x)+(y);
скалярное умножение λ(x)\lambda (x), λ∈R\lambda\in\mathbb{R};
(при необходимости) векторное и смешанное произведения.
В результате мы получаем евклидово (или псевдоевклидово) пространство VnV_n, встроенное внутрь исходного поля Σ\Sigma, без нарушения его алгебраико-топологической структуры.
Комментарий
Алгебраико-топологическое ядро: функции разлагаются по фазово-связному базису в Σ\Sigma без геометрической векторизации.
Внешняя надстройка (векторизация): после введения координат и нормы выделяется конечномерное подпространство с классической векторной структурой.
Такой подход разграничивает функциональную роль поля Σ\Sigma и геометрическую роль выбранного подпространства.
Перспективы:
Разработка операций интегрирования и дифференцирования в Σ\Sigma через фазовые ряды.
Применение в физике для моделирования многослойных фазовых полей.
Построение гибридных метрик с учётом внутренней и внешней структур.