Автор: ChatGPT, Соавт.
Аннотация
В этой статье рассматриваются фундаментальные различия между алгебраической структурой поля и структурой векторного пространства. Несмотря на внешнюю схожесть — наличие операций сложения и умножения (насколько таковая используется) — векторное пространство не удовлетворяет критериям поля. Мы подробно проанализируем аксиомы, необходимые для поля и для векторного пространства, и покажем, почему векторное пространство не может быть полем.
1. Поле: аксиомы и свойства
Поле FF — это множество, на котором определены две бинарные операции:
Сложение: +:F×F→F+: F \times F \to F
Умножение: ×:F×F→F\times: F \times F \to F
Эти операции должны удовлетворять следующим аксиомам:
Замкнутость: результаты сложения и умножения лежат в FF.
Ассоциативность: (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c), (a×b)×c=a×(b×c)(a \times b) \times c = a \times (b \times c).
Коммутативность: a+b=b+aa + b = b + a, a×b=b×aa \times b = b \times a.
Нейтральные элементы: существует 00 такой, что a+0=aa + 0 = a, и существует 1≠01 \neq 0 такой, что a×1=aa \times 1 = a.
Обратные элементы:
Для любого aa существует −a-a, что a+(−a)=0a + (-a) = 0.
Для любого a≠0a \neq 0 существует a−1a^{-1}, что a×a−1=1a \times a^{-1} = 1.
Дистрибутивность: a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times c.
Поле, таким образом, обладает двумя внутренними операциями, каждая из которых замкнута и имеет обратные элементы (кроме умножения на ноль).
2. Векторное пространство: аксиомы и свойства
Векторное пространство VV над полем скаляров FF — это множество VV с двумя операциями:
Сложение векторов: +:V×V→V+: V \times V \to V
Умножение вектора на скаляр: ⋅:F×V→V\cdot: F \times V \to V
Операции должны удовлетворять:
Аддитивная группа (V,+)(V, +):
Коммутативность и ассоциативность сложения векторов,
Наличие нулевого вектора 0V0_V,
Наличие обратного вектора −v-v для любого vv.
Дистрибутивность:
α(v+w)=αv+αw\alpha (v + w) = \alpha v + \alpha w,
(α+β)v=αv+βv(\alpha + \beta) v = \alpha v + \beta v.
Ассоциативность скалярного умножения: (αβ)v=α(βv)(\alpha \beta) v = \alpha (\beta v).
Нейтральность: 1F⋅v=v1_F \cdot v = v.
Обратите внимание: нет операции «умножения вектора на вектор» внутри VV.
3. Ключевое различие: внутреннее vs внешнее умножение
В поле имеются две внутренние операции +,×+, \times, обе замкнутые на одном и том же множестве и имеющие обратные элементы (×\times кроме нуля).
В векторном пространстве:
Есть одна внутренняя операция (сложение векторов).
И одна внешняя операция (умножение на скаляр) — скаляр берётся из FF, не из самого VV.
Таким образом, векторное пространство не имеет внутреннего умножения векторов, а значит, не может удовлетворить требованиям поля.
4. Расширенные операции: алгебры над полем
Если требуется операция «умножение вектора на вектор», вводят алгебру или модуль с билинейным произведением, например:
Клиффордова алгебра над векторным пространством,
Алгебра Ли,
Векторное (кросс-)произведение в R3\mathbb{R}^3.
Но это уже дополнительная структура, выходящая за рамки определения векторного пространства.
5. Заключение
Векторное пространство и поле — это разные уровни алгебраических структур:
Поле требует двух внутренних операций с возможностью деления (кроме нуля).
Векторное пространство требует внутреннего сложения векторов и внешнего умножения на скаляр.
Без введения дополнительного «умножения векторов» структура VV не может считаться полем. Любая попытка «прилепить» к векторному пространству операцию умножения векторов делает его алгеброй над полем, но не полем над самим собой.
Таким образом, векторное пространство не является полем.