Признаки делимости проходят в 5-6 классе. Они нужны для того, чтобы быстро понимать, делится число, например, на 6 или 7, или нет. Проблема в том, что большинство после школы помнят только самые простые признаки делимости на 2 и 3. Иногда ещё на 6 и 9.
Так что давайте вспоминать остальные. Это пригодится не только на ЕГЭ и ОГЭ, курс по подготовке к которому есть у меня в Дзен.Премиум, но во всяких олимпиадных задачах. Ну и вообще...
Число делится на 2, если...
... оно чётное. Чётное значит, что оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
Например, 1234556798. Последняя цифра 8, значит всё число делится на 2.
Число делится на 3, если...
... сумма цифр делится на 3. Тут даже пояснять ничего не надо, поэтому сразу пример.
Число 12345 делится на 3, потому что сумма цифр 1+2+3+4+5=15, а 15 делится на 3 нацело (15/3=5).
Число делится на 4, если...
... число из двух последних цифр изначального числа делится на 4. Этот признак делимости не помнит почти никто, поэтому давайте снова приведу пример.
Число 15624 делится на 4, потому что 24 (число из последних двух цифр) делится на 4.
Число делится на 5, если...
... оно заканчивается на 5 или 0. Это все помнят, поэтому примеры излишни, думаю. Понятно, что 135 и 270 делятся на 5, а 333 — нет.
Число делится на 6, если...
... оно делится и на 2, и на 3. То есть чтобы узнать делится ли число на 6 или нет, неам нужно дважды применить вышеописанные признаки делимости.
Пример. Число 744.
1. Оно чётное, значит, делится на 2.
2. 7+4+4=15, а 15/3=5, значит, 744 делится и на 3.
3. Так как 744 делится и на 2, и на 3, значит, оно делится и на 6.
Число делится на 7, если...
А вот тут начинается самое интересное, потому что некоторые вообще думают, что нет никакого признака делимости на 7. На самом деле есть, но этот признак не такой простой, как предыдущие.
Чтобы проверить, делится ли число на 7, нужно:
- Взять последнюю цифру и удвоить её.
- Вычесть полученное число из оставшейся части исходного числа (без последней цифры).
- Если результат делится на 7, то исходное число тоже делится на 7.
Пример: проверим, делится ли 364 на 7.
1. Последняя цифра: 4, удваиваем: 4×2=84×2=8.
2. Оставшаяся часть: 36.
3. Вычитаем: 36−8=2836−8=28.
4. 28 делится на 7 (28:7=428:7=4), значит и 364 делится на 7.
Число делится на 8, если...
... если число из трёх последних цифр делится на 8.
Число 2152. Последние цифры 152. 152:8=19 (остаток 0), значит, 2152 тоже делится на 8.
Число делится на 9, если...
... сумма цифр делится на 9. Суть такая же, как в признаке делимости на три.
Число 729 делится на 9, потому что 7+2+9=18, а 18/9=2.
Число делится на 10, если...
... если заканчивается на 0. Например, 270 или 100500.
Число делится на 11, если...
... разность суммы цифр на нечётных и чётных позициях делится на 11.
Например, число 120340528.
(1+0+4+5+8)-(2+3+0+2)=18-7=11. 11 делится на 11, значит, и число 120340528 делится на 11.
Число делится на 25, если...
... оно заканчивается на 25, 50, 75 или 00. Например, 100, 275, 10045825.
Это основные признаки делимости, которые проходят в школе. Другие признаки делимости, как правило, появляются при помощи комбинации вышеописанных признаков. Например,
Число делится на 12, если...
... оно делится на свои множители, то есть на 3 и 4 одновременно. Суть та же, что и в признаке делимости на 6 (там была комбинация признаков делимости на 2 и 3).
Число 324.
Заканчивается на 24, поэтому делится на 4.
3+2+4=9, а 9 делится на 3.
Поэтому 324 делится на 12.
Но есть и более экзотические признаки делимости.
Чтобы узнать, делится ли число на 13, ...
... нужно умножить последнюю цифру на 4, прибавить результат к оставшейся части числа (без последней цифры), и если итог делится на 13, то исходное число тоже делится. Алгоритм похож на признак делимости на 7.
Пример: проверим, делится ли 169 на 13.
Последняя цифра: 9 → 9×4=369×4=36.
Оставшаяся часть: 16 → 16+36=52
52 делится на 13 (52/13=4) → 169 делится на 13.
Чтобы узнать, делится ли число на 17, ...
... нужно умножить последнюю цифру на 5, вычесть результат из оставшейся части числа, и если итог делится на 17, то исходное число тоже делится.
Пример: проверим, делится ли 153 на 17.
Последняя цифра: 3 → 3×5=15.
Оставшаяся часть: 15 → 15−15=0.
0 делится на 17 → 153 делится на 17.
Чтобы узнать, делится ли число на 19, ...
... умножьте последнюю цифру на 2, прибавьте результат к оставшейся части числа. Если итог делится на 19, то исходное число тоже делится.
Пример: проверим, делится ли 133 на 19.
Последняя цифра: 3 → 3×2=6.
Оставшаяся часть: 13 → 13+6=19.
19 делится на 19, значит, 133 делится на 19.
Чтобы узнать, делится ли число на 23, ...
... умножьте последнюю цифру на 7, прибавьте результат к оставшейся части числа. Если итог делится на 23, то исходное число тоже делится.
Пример: проверим, делится ли 161 на 23.
Последняя цифра: 1 → 1×7=7.
Оставшаяся часть: 16 → 16+7=23.
23 делится на 23. следовательно и 161 делится на 23.
Как видите, признаки делимости на 13, 17, 19 и 23 довольно сложны для запоминания. Поэтому их и не проходят в школе, но если запомнить, можно упростить себе жизнь, когда нет калькулятора. Правила основаны на умножении последней цифры на определённый коэффициент и взаимодействии с оставшейся частью.
- 13: ×4 → прибавить.
- 17: ×5 → вычесть.
- 19: ×2 → прибавить.
- 23: ×7 → прибавить.
Ну и на последок ещё несколько признаков делимости, о которых обычно не рассказывают в школе.
Число делится на 99, если...
... сумма групп по две цифры (справа налево) делится на 99.
Проверим, делится ли 792 на 99.
Разбиваем на группы: 7 | 92.
Сумма: 7+92=99 → делится на 99 → 792 делится на 99.
Чтобы узнать, делится ли число на 23, ...
... разбейте число на группы по две цифры справа налево, поочередно вычитайте и прибавляйте эти группы. Если результат делится на 101, то исходное число тоже делится.
Проверим, делится ли 66054 на 101.
Разбиваем: 6|60|54.
Вычисляем: 6-60+54=0.
0 делится на 101, значит и 66054 делится на 101.
А вот другой пример: проверим, делится ли 10601 на 101.
Разбиваем: 1 | 06 | 01.
Вычисляем: 1−06+01=−41−06+01=−4.
-4 не делится на 101 → 10601 не делится на 101.
Это всё, что я хотел рассказать, теперь осталось лишь отрабатывать полученные знания. Проверьте, делится ли 247 на 13, а 392 на 17?
Не забывайте про мои видеоуроки в Дзен.Премиум и Телеграм, в котором всегда всё самое актуальное. А ниже ещё несколько интересных статей: