Поле не есть векторное пространство: некорректность умножения вектора на вектор в Σ, ℂ и ℍ
Автор: М.В.Елисеев, 2025
Аннотация
В данной статье анализируется фундаментальное отличие полей Σ, ℂ и ℍ от векторных пространств. Особое внимание уделяется критике введения операции умножения вектора на вектор («кросс-» или «буравчиковое» умножение) в этих алгебрах как условия векторизации. Показывается, что хотя в Σ, ℂ и ℍ определены билинейные или антикоммутативные произведения, они не превращают эти структуры в векторные пространства, а лишь расширяют их до алгебр с дополнительной операцией.
1. Введение
В математическом анализе и физике часто используют терминологию векторного пространства при работе с комплексными числами (ℂ), кватернионами (ℍ) и фазово-коммутативной алгеброй Σ. Однако присутствие операций «умножения вектора на вектор» (кросс-произведение в ℝ³, антикоммутатор в ℍ) не делает эти структуры векторными пространствами по определению. В этой статье мы:
- Сравним аксиомы поля и векторного пространства.
- Выделим природу билинейных произведений в Σ, ℂ и ℍ.
- Покажем, почему эти операции не являются признаком «векторизации».
2. Поле vs векторное пространство
2.1. Аксиомы поля
Поле FF обладает двумя внутренними операциями:
- Сложение: + :FimesFoF+\colon F imes F o F
- Умножение: imes :FimesFoF imes\colon F imes F o F
и удовлетворяет аксиомам замкнутости, ассоциативности, коммутативности, наличия нейтральных и обратных элементов, дистрибутивности.
2.2. Аксиомы векторного пространства
Векторное пространство VV над полем FF имеет:
- Сложение векторов: + :VimesVoV+\colon V imes V o V
- Умножение на скаляр: ⋅ :FimesVoV\cdot \colon F imes V o V
и удовлетворяет группе аксиом (аддитивная группа, дистрибутивность, ассоциативность, нейтральный скаляр).
Ключевое различие: во векторном пространстве нет внутреннего умножения двух векторов. Любое такое «умножение» — часть дополнительной структуры, но не аксиомы VV.
3. Билинейные операции в Σ, ℂ и ℍ
3.1. Поле Σ
Алгебра Σ вводит бесконечный базис мнимых единиц iki_k и гиперболические оси hkl=ik ilh_{kl}=i_k\,i_l. Операция умножения фазовых базисов коммутативна и дает:
(ikil)2=+1(i_k i_l)^2=+1.
Это внутреннее умножение — операция поля Σ, а не скалярного модуля.
3.2. Комплексное поле ℂ
В ℂ мнимая единица ii подчиняется i2=−1i^2=-1. Можно ввести «векторизацию» в ℝ² и кросс-продукт в этой двумерной интерпретации, но это не часть аксиом ℂ, а надстройка (матрицы, повороты).
3.3. Кватернионы ℍ
Кватернионы имеют антикоммутативное умножение базисов i,j,ki,j,k с правилами Гамильтона. Это билинейный и антикоммутативный оператор:
iimesj=k=− jimesi,\;i imes j=k=-\,j imes i, и т.д.
Опять же, эта операция расширяет линейную структуру ℝ⁴ до дивизионной алгебры, но не делает ℍ векторным пространством над собой.
4. Почему «умножение вектора на вектор» не векторизация
- Векторизация требует внешнего скалярного умножения, а не внутреннего.
- Любая операция VimesVoVV imes V o V вводит алгебру Ли или Клиффорда, но не векторное пространство.
- В Σ, ℂ, ℍ внутреннее умножение — часть их аксиом поля или алгебры, и его наличие не отменяет отсутствие внешнего сложения на уровне полей.
5. Заключение
Билинейные и антикоммутативные операции в Σ, ℂ и ℍ служат для расширения полей до алгебр, но принципиально отличаются от «векторизации». Четкое понимание различия между внутренним умножением в алгебре и внешним умножением на скаляр векторов помогает избежать методологических ошибок при переходе от числовых полей к геометрическим моделям.
Ключевые слова: поле, векторное пространство, Σ, комплексное поле, кватернионы, внутреннее умножение, алгебра.