Англичане — те самые гении, которые решили, что к обычному write можно просто прилепить разные предлоги, и получится вообще что-то новое.
"Write down", "write up", "note down", "jot down"… У кого-то богатый внутренний мир, у кого-то — богатый фразовый глагол. Разберёмся? Ну что ж, держись, тетрадка. “Please write down your name.” Означает: запиши. Просто и со вкусом. Обычно — на бумажке, чтобы не забыть.
Типичный случай: преподаватель диктует, студенты пишут (ну, делают вид).
Down — потому что мы такие интеллектуалы, что нам важно направление ручки. Вниз. На лист. А может и на парту (тут англичане уточнить не удосужились). “Note down the address, will you?” То же самое, но звучит как будто ты уже не просто записываешь, а замечаешь важную информацию.
Обычно используется, когда что-то достойно быть записанным (в отличие от всего твоего прошлого в чате с бывшим).
В целом взаимозаменяемо с write down, но чуть более деликатно. Английская версия "у меня тут будет пометка". “I just jotted do