Задача Kissing Number Problem не только сложна с математической точки зрения, но и имеет широкое прикладное значение в таких областях, как связь, искусственный интеллект и физика.
В мае 1694 года Ньютон (на тот момент профессор математики Лукасовской кафедры в Кембриджском университете) совместно с шотландским астрономом и математиком Дэвидом Грегори обсуждали трёхмерную задачу, которая казалась «астрономической», но была глубоко геометрической: если Солнце рассматривать как «центральный шар», то сколько «планетарных шаров» одинакового размера можно разместить вокруг него в трёхмерном пространстве так, чтобы все они касались центрального шара в одной точке, не перекрывая друг друга? Хотя подлинность этого диалога оспаривается, он положил начало математической проблеме, длящейся уже сотни лет — «задаче о числе поцелуев» (Kissing Number Problem).
7 ноября 2024 года Ли Аньци, китайско-американская аспирантка Стэнфорда, и её научный руководитель Генри Коэн (ранее курировавший её в Массачусетском технологическом институте) опубликовали в arXiv статью, в которой представили новый прорыв в этой области. Они разработали геометрическую структуру, позволяющую сферам «контактировать» более компактно в 17–21-мерных пространствах. После завершения процесса рецензирования этот результат станет первым значительным достижением в данных размерностях с 1960-х годов.
Как решается трёхмерная задача о числе "поцелуев" Kissing Number Problem?
Вернёмся к историческому спору. В трёхмерном пространстве 12 шаров легко разместить вокруг центрального так, чтобы каждый касался его. Однако при таком расположении остаются зазоры. Можно ли добавить 13-й шар? Грегори считал это возможным, но Ньютон настаивал, что пределом являются 12.
В 1952 году математики Курт Шютте и Бартел ван дер Варден, используя метод «снижения размерности», преобразовали задачу в геометрическую проблему на сфере. Это завершило двухвековой спор в пользу Ньютона: максимальное число шаров, которые могут касаться центрального без перекрытий, равно 12.
Доказательство:
- Центры периферийных шаров проецируются на единичную сферу.
- Для каждой проекции определяется «корона» — область, где другие центры не могут находиться из-за запрета перекрытий.
- Суммарная площадь корон для 13 точек превышает площадь сферы, что доказывает невозможность такого расположения.
Задача о числе поцелуев в других размерностях
- 1D: 2 шара (по одному с каждой стороны).
- 2D: 6 кругов («лепестки» вокруг центра).
- 3D: 12 шаров (доказано Шютте и ван дер Варденом).
С ростом размерности задача усложняется. Например, в 24-мерном пространстве число достигает 196 560 благодаря решётке Лича. Однако проверка перекрытий для 196 560 точек требует 193,3 млрд вычислений.
Парадоксы многомерности:
В 100-мерном гиперкубе диагональ ≈10, тогда как в 2D — √2. Это требует сложных расчётов «безопасных расстояний» между сферами, выходящих за рамки интуиции.
Текущий статус задачи
- 4D: 24 (доказано Олегом Мусиным в 2008 г. методами сферических гармоник).
- 8D и 24D: 240 и 196 560 (доказано Мариной Вязовской в 2016–2017 гг. с использованием преобразований Фурье).
- 17–21D: Прорыв Ли Аньци и Генри Коэна (2024) с асимметричными структурами, нарушающими традиционную симметрию.
Сложности: В размерностях 5–7, 10–11 отсутствие симметрии затрудняет поиск решений. Современные подходы используют «странные» геометрические конструкции, меняющие чётность координат.
Практическое значение
- Связь: Коды Грея в 24D использовались в миссии Voyager 1. Оптимизация 5G и квантовой криптографии.
- ИИ: Кластеризация многомерных данных для машинного обучения.
- Физика: Моделирование многомерных пространств в теории струн.
Как отмечает Генри Коэн: «Мы всё ещё далеки от полного решения, ведь истина может не иметь интуитивного описания».