Приветствую читателей и подписчиков канала Тесты_математика!
Рассмотрим решение задачи на упрощение выражения дроби с радикалами.
Задача.
Упростите выражение с радикалами в дроби: [√32/(√40 + √8)[^12
В первую очередь упрости дробь с помощью вынесения общих множителей и сокращения их в числителе и знаменателе.
Поэтапное решение.
- Для этого представим все числа в виде сомножителей.
{√(4 * 8)/[√(4 * 10) + √(4 * 2)]}^12 = {√4 * √8)/[√4 * √10 + √4 * √2)]}^12 =
{√4 * √8)/[√4 * (√10 + √2)]}^12.
- Сократим на √4 числитель и знаменатель.
√8/[(√10 + √2)]^12 = √(4 * 2)/[(√(5 * 2) + √2)]^12 =
[(√4 * √2)/√2 * (√5 + 1)]^12 = [√4/(√5 + 1)]^12 = [2/(√5 + 1)]^12.
- Получили более простое выражение с радикалом в знаменателе. Но избавиться от радикала не сложно, умножив на выражение, сопряжённое знаменателю. То есть умножить и числитель , и знаменатель на (√5 - 1)
[2/(√5 + 1)]^12 * (√5 - 1)/(√5 - 1(]^12 ) = [2 * (√5 - 1)/(√5 + 1) * (√5 - 1) ]^12
= [2 * (√5 - 1)/(√5^2 - 1)]^12_ = [2 * (√5 - 1)/ (5 - 1)]^12 = [2 * (√5 - 1)/4]^12 = [(√5 - 1)/2]^12.
Таким образом получили выражение [(√5 - 1)/2]^12, то есть небольшая величина в большой степени, и должно получиться совсем небольшое число.
Сначала возводим выражение в скобках в степень 3, а затем в 4 степень.
{[(√5 - 1)/2]^3}^4.
Так как в видео показано очень наглядно постепенное возведение в степень данного выражения, то приведём только ответ, а получить наглядное решение можно, просмотрев видео.
Ответ: 161 - 72√5.
Видео.
Спасибо за прочтение статьи и просмотр видео.
Пишите вопросы в комментариях.
Подпишитесь на канал, Тесты_математика!
чтобы не пропустить новые публикации!
#задачи на логику, #головоломки, #математика, #тест