Полиномиальные уравнения, в которых переменная возводится в степень, являются основой не только теоретической математики, но и множества практических дисциплин: от описания движения небесных тел до построения алгоритмов в программировании. Уравнения второй, третьей и четвертой степени научились решать еще в XVI веке при помощи формул с использованием радикалов, однако с уравнениями пятой степени возникли непреодолимые трудности. В 1832 году французский математик Эварист Галуа доказал, что универсального решения через радикалы для таких уравнений не существует — тем самым, казалось бы, навсегда закрыв эту главу в математике.
Но почетный профессор Университета Нового Южного Уэльса (UNSW) Норман Уайлдбергер подошел к проблеме с другой стороны — он полностью отверг концепцию иррациональных чисел и радикалов, называя их логически некорректными, так как они опираются на идею бесконечности, которую невозможно полноценно реализовать на практике. Вместо этого он предложил использовать расширения полиномов — так называемые степенные ряды. Это бесконечные суммы, в которых каждый следующий член представляет собой переменную в возрастающей степени, умноженную на коэффициент. Такие ряды позволяют обойтись без радикалов и при этом получать точные приближенные решения. Обрезая ряды на нужной длине, исследователи смогли эффективно проверять работу метода и получать убедительные численные результаты.
Однако главное новшество метода заключается не только в использовании степенных рядов, а в открытии новой числовой последовательности, получившей название «Геод» (Geode). Эта структура является многомерным обобщением знаменитых чисел Каталана — последовательности, которая описывает количество способов разбиения многоугольника на треугольники непересекающимися диагоналями. Если числа Каталана тесно связаны с решением квадратных уравнений, то «Геод», по словам ученых, позволяет логически подойти к решению уравнений пятой и более высокой степени.
Метод уже успешно прошел тест на известном кубическом уравнении, которое использовал в XVII веке Джон Уоллис для демонстрации метода Ньютона. Результаты оказались точными и стабильными. Более того, у нового подхода есть большой практический потенциал: на его основе можно будет разработать новые алгоритмы для компьютерного решения уравнений, которые не будут требовать обращения к бесконечным числам. Это открывает большие возможности для усовершенствования вычислений в самых разных отраслях прикладной математики и компьютерных наук.
Профессор Уайлдбергер считает, что работа с массивом «Геод» только начинается. Его структура настолько богата, что может породить множество новых направлений в комбинаторике и теоретической математике. Открытие, по словам ученого, не просто возвращает к жизни раздел алгебры, который давно считался завершенным, но становится прологом к новым математическим открытиям.
Тем временем ученые создали периодическую таблицу для искусственного интеллекта.