На ОГЭ по математике задачи на вписанные и описанные окружности вызывают особые трудности. В этой статье мы разберем все ключевые понятия, формулы и стратегии решения таких задач, чтобы вы больше никогда в них не путались.
1. Основные определения
Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Центр — точка пересечения биссектрис.
Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Центр — точка пересечения серединных перпендикуляров.
2. Треугольники и окружности
Вписанная окружность в треугольник
- Радиус (r): r = S/p, где S — площадь, p — полупериметр
- Свойство: точки касания делят стороны на отрезки:
a = y + z, b = x + z, c = x + y
Пример задачи:
В треугольнике со сторонами 5, 12, 13 найдите радиус вписанной окружности.
Решение:
1. Это прямоугольный треугольник (5² + 12² = 13²)
2. Площадь S = (5·12)/2 = 30
3. Полупериметр p = (5+12+13)/2 = 15
4. r = S/p = 30/15 = 2
Ответ: 2
Описанная окружность около треугольника
- Радиус (R): R = abc/(4S)
- Для прямоугольного треугольника: R = c/2, где c — гипотенуза
Пример задачи:
Найдите радиус описанной окружности около треугольника со сторонами 6, 8, 10.
Решение:
1. Это прямоугольный треугольник (6² + 8² = 10²)
2. R = гипотенуза/2 = 10/2 = 5
Ответ: 5
3. Четырехугольники и окружности
Вписанный четырехугольник (суммы противоположных сторон равны)
- Необходимое и достаточное условие: суммы противоположных углов равны 180°
- Формула площади (Брахмагупта):
S = √(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)
Пример задачи:
Можно ли вписать окружность в четырехугольник со сторонами 5, 7, 6, 4?
Решение:
Проверим условие: 5 + 7 = 6 + 4 ⇒ 12 = 10 — неверно ⇒ нельзя
Ответ: нет
Описанный четырехугольник (суммы противоположных сторон равны)
- Необходимое и достаточное условие: суммы противоположных сторон равны
- Формула площади: S = r*p, где p — полупериметр
Пример задачи:
Найдите площадь описанного четырехугольника со сторонами 3, 5, 6, 4 и r = 2.
Решение:
1. Проверим условие: 3 + 6 = 5 + 4 ⇒ 9 = 9 — верно
2. Полупериметр p = (3+5+6+4)/2 = 9
3. S = r*p = 2*9 = 18
Ответ: 18
4. Полезные лайфхаки для решения задач
1. Метод вспомогательных элементов:
- Для вписанной окружности проведите радиусы к точкам касания
- Для описанной — соедините центр с вершинами
2. Связь между радиусами:
В любом треугольнике: d² = R(R - 2r), где d — расстояние между центрами
3. Специальные случаи:
- В равностороннем треугольнике: r = a√3/6, R = a√3/3
- В прямоугольном треугольнике: r = (a+b-c)/2
5. Разбор сложной задачи
Задача:
Около окружности радиуса 2 описана равнобедренная трапеция с острым углом 30°. Найдите площадь трапеции.
Решение:
1. В трапецию вписана окружность ⇒ суммы оснований = суммы боковых сторон
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник: h = x·sin30° ⇒ 4 = x*0.5 ⇒ x = 8
3. Тогда S = 4*8 = 32
Ответ: 32
6. Типичные ошибки и как их избежать
1. Путаница в определениях:
- Запомните: вписанная — внутри и касается сторон, описанная — снаружи и проходит через вершины
2. Неправильное применение формул:
- Всегда проверяйте условия применимости формул
- Для четырехугольников сначала проверяйте возможность вписать/описать окружность
3. Геометрические неточности:
- Всегда делайте точный чертеж
- Проверяйте правдоподобность ответа
7. Практикум для самостоятельного решения
1. В треугольнике со сторонами 7, 8, 9 найдите радиус вписанной окружности.
2. Можно ли описать окружность около четырехугольника с углами 70°, 110°, 80°, 100°?
3. Найдите радиус описанной окружности около правильного шестиугольника со стороной 4.
4. В ромб вписана окружность радиуса 3. Найдите площадь ромба, если его острый угол 30°.
5. Около окружности описана равнобедренная трапеция с боковой стороной 10. Найдите периметр трапеции.
Ответы:
1) √5; 2) да; 3) 4; 4) 72; 5) 40
Для уверенного решения задач на вписанные и описанные окружности:
1. Выучите все определения и формулы
2. Понимайте условия существования таких окружностей
3. Тренируйтесь решать задачи разного уровня сложности
4. Анализируйте свои ошибки
5. Используйте метод вспомогательных построений
Помните, что большинство задач решается по стандартным алгоритмам — главное внимательно читать условие и аккуратно выполнять построения.