Шевкин А. В., avshevkin@mail.ru
Теме пропорциональности площадей фигур мы посвятили отдельную заметку на канале Наблюдатель: https://dzen.ru/a/Z5ysOXyTT3ITPnVa
Там подробно показана польза от применения свойства площадей. В частности, там было разобрано решение такой задачи с Хорватской олимпиады.
1. Треугольник разбит на три треугольника и четырёхугольник, как показано на рисунке. Площади треугольников заданы: 2, 3, 4. Найдите площадь четырёхугольника.
В этой задаче получился ответ 7,8.
И тут на канале Наглядная геометрия появилась задача, до боли напоминающая задачу 1.
2. Треугольник разбит на три треугольника и четырёхугольник, как показано на рисунке. Площади треугольников заданы: 20, 30, 40. Найдите площадь четырёхугольника.
Ожидаемый ответ, естественно, 78, но давайте обсудим решение задачи на этом канале и посмотрим более простое решение.
Вот заключительный кадр решения с ответом.
Источник. Пирог 2. Профессиональный! | Наглядная геометрия | Дзен. https://dzen.ru/video/watch/6812eea6de74297f4861979f
В процессе решения был проведён отрезок MK, удалённый в последнем кадре. Решение полезно посмотреть по ссылке, а мы проведём отрезок BO и воспользуемся свойством, объяснённом в упомянутой выше заметке.
Если треугольник разбит на 6 треугольников, как показано на рисунке, и площади треугольников равны a, b, c, d, e, f, то справедливы равенства:
a : b= c : d = e : f.
У нас треугольников будет меньше.
Решение. Соединим точки B и O отрезком и обозначим площади треугольников MBO и KBO через x и y соответственно.
Отношение отрезков AM : MB равно отношению площадей треугольников AMO и BMO, AMС и BMС, AOC и BOC, из чего следует пропорция: 20 : x = 40 : (y + 30), которую перепишем в виде уравнения так:
2x = y + 30. (1)
Отношение отрезков CK : KB равно отношению площадей треугольников COK и BOK, AOC и AOB, из чего следует пропорция: 30 : y = 40 : (x + 30), которую перепишем в виде уравнения так:
3x + 60 = 4y. (2)
Решив систему уравнений (1) и (2), получим: x = 36, y = 42. Тогда искомая площадь равна 36 + 42 = 78.
Ответ. 78.
В упомянутой заметке есть более сложные задачи, на которые стоит обратить внимание.