Напомним замечательное свойство пропорции, которое помогает упростить решения многих геометрических задач.
Теперь обсудим замечательное свойство площадей, которое опирается на замечательное свойство пропорции. Поясним его на простой задаче.
1. На стороне AC треугольника ABC отметили точку D, а на отрезке BD отметили точке E. Отрезки AE и CE разделили треугольник ABC на четыре треугольника. Площади трёх из них известны: 10, 20, 30 (см. рис.). Найдите площадь четвёртого треугольника.
Так как треугольники ADE и CDE имеют общую вершину E, а стороны, противолежащие этой вершине, лежат на одной прямой, то треугольники имеют общую высоту, проведённую из точки E. Поэтому точка D делит эту сторону в отношении, равном отношению площадей этих треугольников, то есть в отношении AD : DC = 10 : 20 = 1 : 2.
Треугольники ADB и CDB обладают тем же свойством, поэтому отношение их площадей равно AD : DC = 1 : 2, а значит, равно отношению площадей треугольников ABD и CBD.
Заметим, что ту же пропорцию можно получить проще, найдя двумя способами отношение BE : ED и приравняв результаты: x : 10 = 30 : 20, или x : 30 = 10 : 20.
Теперь решим задачу с канала «Этому не учат в школе» помещённую под заголовком «Хорватская олимпиадная задача».
2. Треугольник разбит на три треугольника и четырёхугольник, как показано на рисунке. Площади треугольников заданы: 2, 3, 4. Найдите площадь четырёхугольника.
Решение задачи на канале приводит к системе, в которой два уравнения получены при помощи свойства площадей.
Источник. Этому не учат в школе | Дзен». Хорватская олимпиадная задача. https://dzen.ru/video/watch/63de5302c190412358b8ce4a
У нас нет претензий ни к способу решения, ни к его обоснованию. Просто заметим, что при помощи свойства 2) пропорции можно было упростить. Или сразу составить с использованием приведённого выше свойства площадей.
Сформулируем рассмотренное свойство площадей на конкретном примере.
Если треугольник разбит на 6 треугольников, как показано на рисунке, и площади треугольников равны a, b, c, d, e, f, то справедливы равенства:
a : b = c : d = e : f.
Решим задачу чуть сложнее.
3. На стороне AC треугольника ABC отметили середину D, а на стороне BC отметили точке E так, что BE : EC= 2 : 1. Отрезки AE и BD пересекаются в точке O и делят треугольник ABC на три треугольника и четырёхугольник. Площадь четырёхугольника равна 7 (см. рис.). Найдите площадь треугольника ABC.
Решение. Соединим точки O и C отрезком и обозначим равные площади треугольников AOD и COD через x. Тогда площадь треугольника CEO равна
7 – x.
BE : EC = 2 : 1, поэтому площадь треугольника BOE в 2 раза больше площади треугольника EOC и равна 14 – 2x, а площадь треугольника BOA в 2 раза больше площади треугольника AOC и равна 4x.
Так как AD = DC, то площади треугольников BOA и BOC равны. Составим уравнение:
4x = 14 – 2x + 7 – x.
Это уравнение имеет единственный корень x= 3, поэтому площадь треугольника AEC равна x + 7 и равна 10, а площадь треугольника ABC в 3 раза больше, она равна 30.
Ответ. 30.
4. Точки M, N и K отмечены на сторонах AB, BC и AC так, что
AM : MB = BN : NC = CK : AK = 2 : 1. Отрезки AN, BK и CM делят треугольник на треугольники и четырёхугольники. Площадь центрального треугольника равна 1. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение. Построим отрезки AE, BF и CD. Обозначим a, b и c — площади треугольников, имеющих общую сторону с треугольником DEF; x, y и z — площади треугольников, имеющих общую сторону с треугольником ABC (см. рис.).
Так как 2AK = KC, то 2a = 1 + c и 2x = b + y.
Так как 2BM = AM, то 2b = 1 + a и 2y = c + z.
Так как 2CN = BN, то 2c = 1 + b и 2z = a + x.
В каждой строке мы записали по два равенства с площадями треугольников. Сложив три первых равенства, получим: 2a + 2b + 2c = 3 + a + b + c, откуда следует, что a + b + c = 3.
Сложив три вторых равенства, получим: 2x + 2y + 2z = a + b + c + x + y + z, откуда следует, что x + y + z = a + b + c = 3.
Тогда площадь треугольника ABC равна 1 + a + b+ c + x + y + z = 1 + 3 + 3 = 7.
Ответ. 7.
Задачи для самостоятельного решения.
5. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Точка M — середина стороны CD. Отрезки BM и OC пересекаются в точке K. Площадь треугольника BOK равна 1. Найдите площадь квадрата ABCD.
6. Точки M, N и K отмечены на сторонах AB, BC и AC так, что
AM : MB = BN : NC = CK : AK= 2 : 1. Отрезок BK пересекает отрезки MN и AN в точках D и E соответственно. Площадь треугольника DEN равна 64. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответы. 5. 12; 6. 315.