Лоренц-инвариантность на планковских масштабах всегда, непременно, нарушается. Иными словами, СТО Эйншейтна на планковских масштабах "не работает". Доказательство.
Падение шарика в движущейся системе отсчета
Рассмотрим такой пример. Допустим, по поверхности Земли равномерно и прямолинейно движется поезд с вагонами, и в одном из вагонов пассажир кидает с некоторой высоты металлический шарик.
Поскольку система отсчета, связанная с вагоном и пассажиром, является инерциальной, то все законы в ней должны действовать так же, как и в неподвижной системе отсчета, связанной с Землей. И шарик, как и в неподвижной системе отсчета, связанной с Землей, под действием силы тяжести будет падать вертикально вниз.
Однако с точки зрения наблюдателя, стоящего на Земле, шарик, конечно, полетит не строго вниз - он опишет параболу. В самом деле, ведь вагон движется, и шарик в момент его отпускания пассажиром движется с вагоном вправо с той же скоростью v, что и вагон с пассажиром. А потому в момент отпускания шарик приобретет скорость v в горизонтальном направлении, и в итоге опишет в неподвижной системе отсчета такую же параболу, какую описал бы шарик, если бы его бросили на Земле с некоторой высоты со скорость v в горизонтальном направлении.
Однако и это не все. Дело в том, что - если мы примем, что сопротивление воздуха в вагоне равно нулю - шарик в горизонтальном направлении относительно неподвижной СО так и будет двигаться вправо с постоянной скоростью v. А вот вниз он будет двигаться с ускорением g. Поэтому для пассажира шарик также не будет падать строго вертикально вниз - шарик немного отклонится влево, против направления движения поезда.
Почему? Правильно. Потому, что система отсчета, связанная с Землей и с движущимся по Земле вагоном, не являются инерциальными - в них действует сила гравитации Земли. А потому - вопреки утверждениям Галилея - в лаборатории, движущейся по земле прямолинейно и равномерно, мы "изнутри лаборатории" все же можем определить, что лаборатория движется относительно земли.
Луч света и замедление времени
А теперь проведем другой опыт. Допустим, что мы находимся уже не на Земле, в в ракете где-то в космосе, где никакой гравитации нет или она настолько мала, что мы можем ею пренебречь. И эта ракета движется (пролетает мимо) прямолинейно и равномерно относительно другой ракеты. То есть примем, что обе ракеты являются инерциальными системами отчета.
А теперь допустим, что в движущейся ракете на потолке и полу ракеты установлены зеркала, и между ними космонавт запустил луч света. И тогда этот луч света будет двигаться вверх-вниз, строго вертикально.
Однако для космонавта в неподвижной ракете, этот луч света будет двигаться уже не строго вертикально вверх-вниз - луч света будет идти по ломанной линии.
Но поскольку скорость света должна быть одинаковой в любой ИСО, а относительно неподвижной системы отсчета луч света в движущейся ракете проходит от потолка до пола и от пола до потолка бОльшие расстояния за те же промежутки времени, то отсюда следует, что в движущейся ракете время течет медленней.
И, собственно, именно так в СТО и объясняется эффект замедления времени. Из чего можно прямо получить формулу релятивистского замедления времени.
Физическая система отсчета
Однако во всех этих рассуждениях есть одна проблема. Ранее я уже объяснил, почему система отсчета в физике - это вовсе не то же самое, что система отсчета (система координат) в математике: чтобы ввести систему отсчету в физическом пространстве, нам обязательно ее нужно привязать к какой-то частице или телу с массой.
То есть одна из проблем СТО Эйнштейна (и проблема не единственная) состоит в том, что Эйнштейн предельно "математизировал" эту теорию. И у него системы отсчета (ИСО) существуют и движутся как бы "сами по себе", без какой-либо привязки к физической реальности. Понятно, что Эйнштейн стремился при этом сделать свою теорию максимально обобщенной: подставляйте вместо ИСО любую частицу или тело, "и все получится". И этой цели он достиг. Однако этот предельно абстрактный характер СТО придает ей и негативные моменты - СТО становится теорией чрезмерно абстрактной, нефизичной.
И поэтому при применении ее к описанию реальных физических систем она, конечно, становится неточной и даже ошибочной. Почему?
Потому, что если мы привяжем систему отсчету к какой-либо реальной физической системе, обладающей массой (например, к какой-либо частице), такая система уже не будет инерциальной. В самом деле, ведь где появляется масса - там тут же появляется и гравитация. А там, где появляется гравитация, там все уже будет происходить примерно так, как в случае с движущимся вагоном. А это означает, что лоренц-инвариантность для таких физических систем будет нарушаться. Пусть чуть-чуть, но нарушение лоренц-инвариантности в любых реальных физических системах отсчета происходит неизбежно.
Насколько велико нарушение лоренц-инвариантности?
А насколько большим будет это нарушение лоренц-инвариантности? Массы у частиц очень маленькие, силы гравитации там вроде бы тоже совсем небольшие. Может быть, гравитацией можно просто пренебречь?
Для частиц сила гравитации вроде бы действительно совсем небольшая: сила гравитационного взаимодействия двух протонов в 10^36 раз меньше кулоновской силы электростатического взаимодействия между ними. Но ведь сила гравитации зависит от расстояния, и на масштабах планковской длины она может стать уже очень большой.
Кроме того, в релятивистской теории вследствие соотношения между массой и энергией (E=mc^2) гравитационный заряд пропорционален энергии, т. е. полной массе m, а не массе покоя, как в формуле. И при больших скоростях частиц гравитационное взаимодействие уже нельзя считать слабым. При энергии >10^18 ГэВ гравитационный заряд частицы E/c^2 становится равным ее электрическому заряду e, и при очень высоких энергиях гравитационное взаимодействие может стать основным.
А это и означает, что на планковских масштабаx и при больших скоростях мы уже не можем рассматривать частицы как инерциальные системы отсчета. А значит, и лоренц-инвариантность перестает работать. И, возможно, именно отсюда вытекает проблема "сингулярности" в ОТО: ведь ОТО основана на СТО, и если СТО на планковских масштабах перестает "работать", то понятно, что и ОТО на таких масштабах уже "не работает".