Разберём сегодня задачу из устной части вступительного экзамена по математике в 5 класс лицея "Воробьёвы горы" на Донской.
Решение задачи из вступительного в лицей "Воробьевы горы"
Миллион представлен как сумма двух натуральных слагаемых, каждое из которых делится на сумму цифр другого. Докажите, что слагаемые чётны.
Решение. Обозначим эти числа за A и B и сложим их столбиком. Заметим, что хотя бы одно из них обязательно шестизначное, иначе в сумме не получился бы миллион. Пусть это число A:
Здесь в квадратиках будут записаны цифры числа A. Число B может не быть шестизначным, в нём может быть меньше цифр. Но мы всё равно нарисуем шесть прямоугольничков, в которых будут записаны цифры числа B. Если в каких-то прямоугольничках не будет цифр (например, если B - трёхзначное число 123), то в эти пустые прямоугольнички поставим нули. Это не скажется на итоговой сумме, которую мы считаем поразрядно столбиком, но это будет удобно, дальше станет понятно почему:
Заметим теперь, что числа A и B одной чётности (либо оба чётные, либо оба нечётные), так как в сумме получается чётное число - миллион. Нам нужно доказать, что оба числа чётные. Действуем по методу "от противного". Предположим, что оба этих числа нечётные.
Запишем в квадратики цифры первого числа A:
Заметим, что цифра f на конце числа A не может быть равна нулю, иначе число A было бы чётным, что не соответствует нашему предположению. Поскольку в разряде единиц после сложения столбиком должно получиться число 10, чтобы 0 записался в ответ в разряде единиц, а 1 перенеслась в следующий разряд, то единственно возможный вариант, что в конце числа B стоит цифра 10-f:
Другие варианты невозможны, ведь, как уже отмечалось, на конце чисел A и B не могут стоять нули, поскольку в нашем предположении оба они нечётные.
Так как в разряде десятков уже есть единица, перенесённая из разряда единиц, то под цифрой e в числе A находится цифра 9-e в числе B. И так в каждом из остальных разрядов:
Обозначим за S(X) сумму цифр натурального числа X и посчитаем, чему равна сумма S(A) + S(B). То есть посчитаем сумму цифр первого числа, сумму цифр второго числа и сложим полученные результаты. Эту сумму можно посчитать по разрядам. Действительно, в разряде единиц сумма цифр равна 10, а в остальных пяти разрядах - по 9. То есть:
Но тогда числа S(A) и S(B) разной чётности, раз их сумма равна нечётному числу 55. Без ограничения общности, предположим, что S(A) чётна. По условию каждое из чисел должно делиться на сумму цифр другого. Но тогда нечётное число B не может делиться на чётное число S(A), потому что у чётного числа есть множитель 2, а у нечётного его нет. Получили противоречие. То есть наше предположения, что числа A и B нечётны, неверно. Значит, остаётся только, что числа A и B оба чётны.
Что и требовалось доказать.
Подготовка к вступительным экзаменам в лицей "Воробьевы горы"
Вот такая задача. И я ещё раз напоминаю, что это задача из вступительного экзамена в 5 класс. Так что как видите, чтобы успешно сдать вступительный экзамен в лицей "Воробьёвы горы", нужна очень серьёзная подготовка. Лучше всего с помощью профессионального репетитора на https://yourtutor.info/.
На сегодня всё, с Вами был репетитор по математике и физике. Всего доброго и до свидания!