Формулы Преобразований Лоренца для времени и длины широко известны. В том числе они используются и в Специальной теории относительности. Однако менее известны или, точнее, практически совсем неизвестны основания для вывода этих формул, почему они имеют именно такой вид и имеются ли основания доверять этим формулам даже не с логической, а с математической точки зрения. Отметим, что Эйнштейн рассматривает кинематику только для продольного луча, а относительно перпендикулярного луча ссылается на формулу Лоренца. И этот вопрос обходится стороной, хотя свои теоретические размышления на этот счет (по вопросу кинематики света) Лоренц подробно изложил одновременно со статьями Майкельсона. А позднее, в своем докладе на конференции по эксперименту Майкельсона–Морли, состоявшейся в 1927 году, он опубликовал и обобщающее базовое уравнение, из которого им были выведены знаменитые Преобразования. Это уравнение, названное самим Лоренцем фундаментальным, было разобрано ранее в статье «Секретная» базовая формула Лоренца.
Приведем это фундаментальное уравнение:
Из этого уравнения (1) следует, что световой луч, перпендикулярный вектору скорости v (угол θ равен 90 град), имеет не ортогональное направление, как следовало бы ожидать, а идет по гипотенузе, как бы увлекаясь по инерции движущимся объектом. То есть, перпендикулярный луч, при движении источника этого луча в пространстве, имеет не только вертикальную составляющую скорости, но и горизонтальную составляющую, точно равную вектору скорости объекта, как это отражено на схеме опыта Майкельсона, где вертикальный луч ab' (изображен пунктиром), отражающийся от центрального зеркала (повернутого по отношению к вектору скорости под углом 45 град) увлекается вперед по вектору скорости (луч ab). (Отметим предварительно важную деталь, что угол отражения луча от зеркала не равен углу падения)
В соответствии со схемой Майкельсона вычерчивается и типовая схема:
Именно из этой схемы по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника (теорема Пифагора) и выводится формула замедления времени. Для этого составляются выражения для времени пробега луча в неподвижной индивидуальной системе отсчета (ИСО), как показано на схеме (изображение слева), и времени пробега этого луча в подвижной ИСО (изображение справа).
Эти соотношения имеют следующий вид.
Для неподвижной ИСО:
Δt=2L/c
Для подвижной ИСО:
Δt'=2D/c
И затем, с использованием теоремы Пифагора, вычисляется отношение Δt' к Δt:
Так выводится коэффициент Лоренца γ, имеющий первостепенное значение в релятивистской математике:
Важно отметить тот факт, что, при выводе коэффициента γ, учитывается суммарный двойной пробег луча между зеркалами туда и обратно по восходящей и нисходящей гипотенузам. При этом предполагается равенство восходящей и нисходящей гипотенуз. Это равенство заложено в концепцию Лоренцевых Преобразований, иначе формулы Преобразований не имеют смысла.
Однако на поверку это равенство прямой и обратной гипотенуз не соблюдается. Кинематика весьма запутанная, но разобраться в ней важно. Очевидно, что принципиальная ошибка типовой схемы заключается в том, что не учитывается изменение угла луча при отражении его от верхнего зеркала. Смотрим на схему Майкельсона. На ней угол отраженного луча не равен углу приходящего луча. Так почему при рассмотрении верхнего зеркала эти углы уже принимаются равными?
Из базового уравнения (1) следует, что Лоренц придал кинематике светового луча достаточно причудливый характер. Как было уже отмечено выше, перпендикулярный к вектору движения объекта световой луч имеет не ортогональное направление, как следует ожидать, а идет по гипотенузе, как бы увлекаясь по инерции движущимся объектом. То есть, перпендикулярный луч имеет не только вертикальную составляющую скорости, но и горизонтальную "инерционную" составляющую, точно равную вектору скорости объекта.
Однако если луч имеет исходную траекторию не строго перпендикулярно, а под углом, то "инерционная" составляющая скорости луча, согласно уравнению (1) тоже имеет место быть (только начинает снижаться с увеличением угла, и имеет нулевое значение, когда луч направлен точно по вектору движения объекта). Поэтому, правильная схема для лучей, в соответствии с базовым уравнением (1), будет выглядеть следующим образом (правильный отраженный луч оранжевого цвета, который должен быть больше, чем луч 1):
Таким образом, восходящая гипотенуза 1 не равна нисходящей гипотенузе 2. Соответственно, нельзя применять для расчета и теорему Пифагора. Следовательно, формула для коэффициента γ выведена неправильно. И, вообще, согласно базовому уравнению (1) получается, что коэффициент γ зависит не только от скорости объекта, но от угла, под которым выходит световой луч.
Несоответствие значений восходящей и нисходящей гипотенуз при пробеге луча между зеркалами туда и обратно вполне очевидно уже исходя из характера самого уравнения (1). Однако для убедительности просчитаем это на численном примере, например, для скорости объекта (интерферометра) равной половине скорости света в вакууме (v = 0,5 · с):
Из уравнения (1) рассчитываем скорость c' исходного перпендикулярного луча1( исходное направление 90 град. по отношению к вектору скорости) по восходящей гипотенузе:
Определяем угол θ восходящего луча, под которым он приходит на верхнее зеркало:
tg θ = с /0,5 · с = 2, соответственно θ = arctg2 = 63,44 град
Таким образом, отраженный от верхнего зеркала луч имеет исходный угол направления уже 63,44 град. Соответственно, из уравнения (1) рассчитываем скорость c' луча по нисходящей гипотенузе для развернутого по отношению к вектору скорости угла 63,44+90=133,44 град:
Результаты расчетов показывают, что скорость светового луча по восходящей гипотенузе, составляющая 0,7071·c не равна скорости светового луча по нисходящей гипотенузе, имеющей значение 0,395·c. Соответственно не будет равно и время пробега этих лучей (Δt=l/c). Значит, некорректна формула коэффициента γ и уравнений, включающих этот коэффициент.
Преобразования Лоренца будут соответствовать фундаментальному уравнению только в такой геометрии, когда световой луч (фотон) будет постоянно иметь одну и ту же вертикальную составляющую вектора движения, а смещается только горизонтальная составляющая его траектории. Вот как это следует отобразить на приведенной выше типовой схеме:
В таком геометрическом варианте угол отражения равен углу падения и формула коэффициента γ является корректной. Однако этот вариант тоже вызывает вопросы насчет обоснования такой кинематики с физической точки зрения: что вызывает горизонтальное смещение луча, причем в точном соответствии с пройденным объектом путем?