В этой части построим график зависимости удалённости частицы от начальной точки от количества пройденных шагов по сотовой сети. Но прежде дадим определение расстояния в квантовой сети.
На рисунке изображены три возможных пути от начального узла А до конечного узла B. Квантовым расстоянием между двумя узлами будем считать наименьшее число шагов, которое требуется для перехода между этими узлами. В данном случае два зеленых пути состоят из 7 шагов, а красный путь - из 15. Красный путь не является кратчайшим. А зеленые - являются, так как меньше чем за 7 шагов нельзя добраться из А в B. То есть квантовое расстояние между A и B равно 7. Кратчайший путь не единственный, но это неважно. Важно, что более коротких путей в данной квантовой сети не существует.
Исходя из такого определения, нарисуем диаграмму расстояний для первых 7 шагов:
Здесь в центре расположена начальная точка движения (число шагов равно 0).
Зеленая окружность проходит через узлы, отстоящие на 1 шаг от начального узла. Оливковая окружность проходит через узлы, находящиеся на квантовом расстоянии 2 от "начала координат". А на третьем шаге мы уже наблюдаем две окружности, соответствующие квантовому расстоянию 3. Далее количество окружностей, соответствующих данному расстоянию, растет. А на седьмом шаге одна из окружностей 7-го квантового радиуса оказывается даже меньше, чем одна из окружностей 6-го квантового радиуса. Это говорит о том, что геометрия квантового пространства необычна. То есть в зависимости от структуры сети может обладать совершенно непривычными геометрическими свойствами*.
- *Например, легко показать, что для сотовой сети число пи будет равно 3.
А теперь будем накладывать на эту диаграмму распределение вероятностей положения частицы на определенном шаге.
На первом шаге картина будет такой: частица обязательно попадёт в узел, лежащий на окружности с квантовым радиусом 1, то есть с вероятностью 100% окажется на расстоянии 1 от начальной точки:
На втором шаге частица со стопроцентной вероятностью окажется на окружности квантового радиуса 2:
На третьем шаге все точки снова укладываются на "свои" окружности, то есть на квантовый радиус 3:
А вот на 4-м шаге 6 из 24 точек окажется на окружности радиуса 2. То есть с вероятностью 6/24 = 1/4 частица окажется на квантовом расстоянии 2 от начального узла, и с вероятностью 3/4 - на расстоянии 4:
Тогда на 4-м шаге в среднем частица будет оказываться на расстоянии
2 х 1/4 + 4 х 3/4 = 3,5
Подсчет для 5, 6 и 7 шагов дает следующие результаты:
Из этого графика видно, что с ростом числа хаотичных шагов N по сотовой сети рост среднего расстояния R удаленности от начальной точки замедляется после 3-го шага.
Интересно, что будет происходить после 7-го шага? И можно ли найти общую формулу для любого N?