Эта статья является логическим продолжением темы о пространственных сетях (см. статьи о 3D-сетях).
Под сетью понимается совокупность узлов и связей, которыми эти узлы связаны:
Также там были введены некоторые полезные понятия, такие как радиус сети, элемент сети, коэффициент эффективности (см. статью Эффективные сети).
Допустим, некая частица движется по некоторой сети, последовательно пробегая по связям от узла к узлу. В качестве примера возьмем двухмерную сотовую сеть. Путь частицы из начального узла А в конечный узел В может быть разным, например, таким:
В классической теоретической механике используется вариационный подход к описанию движения частиц, где закон движения постулируется как принцип наименьшего действия, который гласит, что частица выбирает из всех возможных путей тот, по которому интеграл лагранжиана (действие) минимален. Похожий принцип лежит в основе квантовой механики, где путь частицы вообще не определен. В квантовой механике частица как бы движется сразу по всем возможным путям, и мы не знаем точно, по какому пути она добиралась из точки А в точку В. По сути дела, в квантовой механике мы можем вычислить только вероятности тех или иных путей движения частицы.
При этом пространство и время полагаются непрерывными. Если же пространство квантово, то есть разделено на отдельные ячейки, то поведения частицы в дискретном пространстве как раз и можно описывать как движение по сети.
Предполагая пространство дискретным, мы, тем не менее, изначально не знаем, какова структура этой сети. Но попробуем изучить некоторые частные свойства перемещения квантовой частицы по квантовой сети. Пока на примере простейшей сотовой сети.
Сотовая сеть выбрана не случайно. Это наиболее эффективная сеть из всех возможных двухмерных сетей с минимально возможным числом связей на узел*.
- *Более подробно см. по вышеуказанным ссылкам.
В сотовой сети на каждый узел приходится по три связи. Это, очевидно, наименьшее число связей на узел среди всех возможных двухмерных сетей. Если наложить запрет на обратный отскок, то при движении по такой сети у частицы остается всего два варианта выбора направления каждого следующего шага: налево или направо.
А теперь пора вспомнить об аттракторах. И, в частности, о треугольнике Серпинского. Там движение от точки к точке происходит по некоторому правилу, в котором участвует фактор случайности. Такой симбиоз правил (упорядоченности) и случайности (хаоса) приводит к возникновению удивительной фрактальной картины в виде множества вложенных треугольников.
Попробуем “поиграть” “правилами движения” частицы по сотовой сети. Допустим, что вероятности правого и левого выбора одинаковы и равны 1/2.
Будем многократно наблюдать движение частицы из начальной точки и прослеживать путь наблюдаемой частицы до некоторого шага с номером N. Каждое такое наблюдение назовем испытанием для N шагов. Конечная точка пути для каждой попытки может находиться в разных точках. Назовем каждую такую точку исходом данной попытки. Попробуем выяснить, будет ли наблюдаться какая-то закономерность в распределении вероятности исходов.
Путем прямого перебора вариантов для первых семи N не трудно рассчитать распределение исходов, и оно при выбранном нами хаотическом законе движения будет таким:
На представленной видео-диаграмме площадь красного кружка соответствует вероятности обнаружить частицу в данной точке.
- В нулевой момент частица определенно находится в начальной точке и крупный красный кружок в центре символизирует, что вероятность нахождения частицы в этом месте в начальный момент равна 1.
- После первого шага частица может с равной вероятностью 1/3 оказаться в одном из трех узлов, которые соседствуют с начальным узлом.
- На втором шаге, очевидно, частица окажется с равной вероятностью 1/6 в одном из шести узлов, удаленных от начальной точки еще на один отрезок сети.
- Далее подсчет вариантов немного сложнее. Например, подробная картина для седьмого шага:
В следующей статье построим до седьмого шага зависимость вероятности обнаружить частицу на расстоянии R от начальной точки на определенном шаге.