Приветствую Вас!
На экзаменах в 9 и 11 классах часто гуляет вот такая задача. Вроде всё просто — треугольник, биссектриса, равные отрезки. А вызывает затруднение у многих:
Вот казалось бы - вообще ничего нет, но нет. Очень много чего есть. Можно, конечно пойти через системку уравнений, но это как-то обыденно и неинтересно.
Давайте приглядимся к этим всем треугольникам, как уже видно, равнобедренным и посмотрим что это дает. Поехали!
Привлекательное доказательство
1) Пусть угол BAC = x. Поскольку AD — биссектриса, она делит этот угол пополам, значит углы CAD и BAD равны по x/2.
2) По условию AD = CD, значит треугольник ACD — равнобедренный. А значит, угол ACD тоже равен x/2.
3) Теперь найдём угол CDA — это третий угол в треугольнике ACD. Он равен (180 - x/2 - х/2), то есть 180-х.
4) Угол CDA смежный с углом ADB, значит ADB=x (сумма смежных углов 180)
5) Теперь рассматриваем треугольник ABD. По условию AB = AD, значит он равнобедренный, и угол ABD тоже равен x.
6) Получается, что угол A равен x, и угол B равен x. Значит, треугольник ABC — равнобедренный, а угол при вершине (угол C) в два раза меньше, чем углы при основании, т.к С=х/2, а А=В=х.
Вот мы и доказали суперпозицию, которой сейчас воспользуемся и составим лайт-уравнение:
Пусть угол C равен x. Тогда углы A и B по 2x.
Да, тут снова появляется тот же x, но к предыдущим он отношения не имеет — просто привычно и удобно обозначить меньший угол именно так. Кому не нравится можно поставить у или Z или еще какую другую букву. Суть не в этом, думаю, вы меня поняли. Итак, составим уравнение:
5х = 180
x = 36.
Ответ: 36 градусов.
Вау, какая элегантность - Математика рулит!
Благодарю за внимание..