Как же так? Ведь вывод формулы K=mv²/2 без всяких приближений можно найти в любом приличном учебнике физики и она вытекает из законов ньютоновской механики. Вот именно, ньютоновской механики, которая является лишь приближением релятивистской механики, в просторечии именуемой теорией относительности.
Всглянем на это с релятивистской точки зрения. В состоянии покоя полная энергия тела, согласно знаменитой формуле Эйнштейна равна E₀=m₀c², где m₀ – масса покоя. В движении масса тела увеличивается до величины m, в результате чего полная энергия становится равной E=mc². Таким образом, кинетическая энергия есть разность полных энергий: K=E–E₀ = (m–m₀) c².
Воспользуемся формулой (которую также можно найти в любом приличном учебнике физики), выражающей зависимость релятивистской массы от скорости: m = m₀/√(1–v²/c²) и заменим в ней квадратный корень знаменателя отрицательной степенью: m = m₀ (1–v²/c²)⁻¹/².
При «привычных» скоростях отношение v/c очень мало, а (v/c)² мало и подавно. Поэтому в таких случаях в самый раз воспользоваться биномиальным приближением (1+x)ⁿ≈1+nx (которое справедливо для любого n, а не только натурального, как утверждают некоторые источники), полагая x=–v²/c², n=–1/2. Таким образом (1–v²/c²)⁻¹/² ≈ 1+(1/2) v²/c², откуда m ≈ m₀ [1+(1/2) v²/c²] или m ≈ m₀ + (1/2) m₀v²/c², поэтому масса увеличивается на величину m–m₀ ≈ (1/2) m₀v²/c².
Теперь можно найти приближенную формулу для кинетической энергии: K = (m–m₀) c² ≈ [(1/2) m₀v²/c²] · c² = m₀v²/2. Получили привычную формулу кинетической энергии, однако, как выяснилось, она подходит лишь при малых значениях v/c, то есть когда скорость тела значительно меньше скорости света.
Но не будем омрачать себе жизнь. Во-первых, в сравнении со светом даже планеты и астероиды, не говоря уж о космических спутниках, кажутся улитками. Во-вторых, ввиду отрицательной добавки к единице (а именно x=–v²/c²) степенной ряд является знакопеременным, так что отклонение от точного значения даже при субстветовых скоростях не такое уж и большое. Поэтому формулу mv²/2 можно считать точной, несмотря на то, что, строго говоря, это не так.