Как и в любом правиле, в этом есть основная часть и уточнения, исключения.
Итак, главное.
После русской приставки, оканчивающейся на согласный (без-, вз-, воз-, об-, под-, пред-, раз-, с-) , пишется тот гласный (Ы или И), что слышится.
Если слышим Ы, то и пишем Ы, например: игра — розыгрыш, искать — разыскивать, инициатива - безынициативный, итог - подытожить.
Исключений всего два — приставки сверх- и меж-. После них пишется И, например: изысканная — сверхизысканная, институтская — межинститутская.
Так сложилось, что в русском языке после Х буква Ы практически не встречается. Я нашла только слово "Архыз", но оно заимствованное.
А правило "жи/ши пиши с буквой И" и здесь оказалось сильнее, поэтому те немногие слова, которые образованы с помощью приставки меж и корня, начинающегося на И, пишем с И: межигровой, межиздательский, межимпериалистический, межинститутский.
Для самопроверки можно пройти небольшой тест.
Уточнения
После иноязычных приставок (пан-, суб-, транс-, контр-, дез-, супер-, пост-, гипер-) на согласный пишется И.
Например: исламизм — панисламизм, индекс — субиндекс, Иран — трансиранский, игра — суперигра, инфекция — дезинфекция, инъекционный — постинъекционный, инфляция — гиперинфляция.
Обратите внимание
Сложных случаев не так много.
Во-первых, это взимать и взимание. Но здесь приставка уже срослась с корнем - в современном русском языке в этих словах выделяется корень -взима-, да и по орфоэпическим нормам произносится И.
Во-вторых, слова с антонимическими приставками пред- и пост-.
Приставка пред- является русской и имеет значение предшествования (в широком смысле), то, что перед чем-то, например: предвечерний — тот, который перед вечером, предбанник — помещение перед баней (парной) и т.д.
Приставка пост- заимствованная из латинского языка, где post — после, спустя, например: постмодернизм — направление после модернизма, посткризисный - тот период, который наступил после кризиса и т.д.
В ходе функционирования эти приставки сблизились и вступили в антонимические отношения (стали означать противоположные понятия). Это хорошо заметно, когда они присоединяются к одному корню, например: предкризисный — посткризисный.
Вот и случилось так, что после приставки пред- пишем Ы, а после приставки пост- пишем И:
Для самопроверки рекомендую пройди еще один тест, но уже сложнее, чем предЫдущий.