Вариант 1:
| b | = 5. Найдите расстояние от точки b до 7.
Решение:
1) В главе IV §32 учебника на странице 197 шестиклассники знакомятся с понятием модуля числа.
Модулем числа называют расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей это число на координатной прямой.
Кроме того, в §32 делается несколько выводов:
1) Поскольку модуль числа – это расстояние между двумя точками координатной прямой, то он принимает только неотрицательные значения;
2) Модуль неотрицательного числа равен этому числу, модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному;
3) Модули противоположных чисел равны.
Следовательно, если | b | = 5, то b = ± 5.
2) При b = 5, расстояние от точки b до 7 равно
7 – 5 = 2.
3) При b = –5, расстояние от точки b до 7 равно
7 – ( –5 ).
В §36 7-го издания учебника по математике для 6-го класса авторов А. Г. Мерзляка, В. Б. Полонского и М. С. Якира под редакцией. В. Е Подольского на странице 215 авторы учебника дают следующее правило.
Чтобы найти разность двух чисел, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Преобразуем выражение таким образом, чтобы вместо действия вычитания получилось действие сложения.
7 – (–5) = 7 + (+5) = 7 + 5 = 12.
Как видите, выражение – (–5) = 5 (минус на минус даёт плюс).
На картинках видно, что расстояние от 5 до 7 равно двум единичным отрезкам, а от –5 до 7 — двенадцати (пять единичных отрезков от –5 до нуля плюс 7 единичных отрезков от нуля до 7).
Ответ: расстояние от точки b до 7 равно 2 и 12.
Вариант 2:
| b | = 4. Найдите расстояние от точки b до –2.
Решение:
1) Если | b | = 4, то b = ± 4.
2) При b = 4, расстояние от точки b до –2 равно
4 – (–2) = 4 + 2 = 6.
На рисунке видно, что расстояние от –2 до 4 равно 6 (два единичных отрезка от –2 до нуля плюс 4 единичных отрезков от нуля до 4).
3) При b = –4, расстояние от точки b до –2 равно
–2 – (–4) = –2 + 4 = 4 + (– 2) = 4 – 2 = 2.
От перемены мест слагаемых (в данном случае от перемены местами слагаемых –2 и 4 сумма не меняется.
На рисунке видно, что расстояние от –4 до –2 равно двум.
Ответ: расстояние от точки b до –2равно 2 и 6.
В оставшихся трёх вариантах данной статьи мы сможем обойтись без картинок, так как уже убедились, что для того, чтобы найти расстояние между двумя точками, надо из большего числа на координатной прямой вычесть меньшее:
5 < 7, поэтому для того, чтобы найти расстояние между ними, мы от 7 отняли 5;
–5 < 7, поэтому для того, чтобы найти расстояние между ними, мы от 7 отняли –5;
4 > –2, поэтому для того, чтобы найти расстояние между ними, мы от 4 отняли –2;
–4 < –2, поэтому для того, чтобы найти расстояние между ними, мы от –2 отняли –4.
На всякий случай напоминаем: чем левее число на координатной прямой, тем оно меньше, поэтому отрицательное число, тем больше, чем меньше его модуль.
Вариант 3:
| b | = 6. Найдите расстояние от точки b до 1.
Решение:
1) Если | b | = 6, то b = ± 6;
2) При b = 6, расстояние от точки b до 1 равно
6 – 1 = 5;
3) При b = –6, расстояние от точки b до 12 равно
1 – (–6) = 1 + 6 = 7.
Ответ: расстояние от точки b до 6 равно 5 и 7.
Вариант 4:
| b | = 7. Найдите расстояние от точки b до 2.
Решение:
1) Если | b | = 7, то b = ± 7;
2) При b = 6, расстояние от точки b до 1 равно
7 – 2 = 5;
3) При b = –7, расстояние от точки b до 2 равно
2 – (–7) = 2 + 7 = 9.
Ответ: расстояние от точки b до 2 равно 5 и 9.
Вариант 5:
| b | = 9. Найдите расстояние от точки b до –5.
Решение:
1) Если | b | = 10, то b = ± 10;
2) При b = 10, расстояние от точки b до –5 равно
10 – (–5) = 10 + 5 = 15;
3) При b = –10, расстояние от точки b до –5 равно
–5 – (–10) = –5 + 10 = 10 + (–5) = 10 – 5 = 5.
Здесь мы опять для удобства поменяли местами слагаемые (10 и –5).
Ответ: расстояние от точки b до –5 равно 5 и 15.