А 3/1 это 1/3? Нет? А почему? Вы вроде что-то такое говорили…
Представить 1 как дробь со знаменатель 5? А как? Я не понимаю!
Дети жалуются, что не понимают дроби. Родители вздыхают, что у детей проблемы с математикой.
А сложности имеют более общий характер. У детей проблемы с развитием абстрактного мышления. Что это за штука такая "абстрактное мышление"? Давайте разберёмся.
Буду объяснять на примере математики, но оговорюсь, что абстрактное мышление мы применяем не только в школе и не только на уроках математики. И не просто применяем от случая к случаю, а постоянно. Это один из видов мышления. Без него мы не стали бы людьми. Это отличительный видовой признак.
Итак, как мы учим ребенка складывать? Пять конфет дала мама и три бабушка. Сколько у тебя конфет? И ребёнок представляет конфеты, при этом старательно загибает пальчики или складывает счётные палочки.
Через некоторое время ему не требуется смотреть на конфеты, чтобы их пересчитать, не требуется рисовать их в своём воображении, чтобы сложить. Он перестает загибать пальцы. Его мозг научился работать с такими абстракциями как «количество» и «число» без привлечения наглядных образов.
Так что такое абстракция? С одной стороны, это обобщение. Например, число 3 - это то общее, что есть у трех конфет на столе, трех автобусов на остановке и трех друзей в детском саду, а именно, их количество. С другой стороны, процесс абстрагирования это отвлечение от реальности, в которой количество неотделимо от самих предметов. В своём сознании мы можем «оторвать» количество от предметов и оперировать числами как самостоятельными сущностями. Чтобы прибавить к пяти шесть с некоторого момента нам необязательно знать, что стоит за этими числами, количество чего мы считаем. Но если требуется, от общего и отвлеченного (абстрактного) наш мозг легко возвращается к частному и определенному. В конкретной задаче любое число имеет реальный смысл.
А дальше мы усложняем задачу для наших детей. Мы объясняем им, что цифра пять необязательно обозначает пять единиц, она может обозначать пять десятков. В числе 555 первая цифра - количество сотен, вторая - число десятков и последняя - число единиц. Цифра одна и та же, но обозначает разное. Тем не менее 5 + 5 по-прежнему 10. Просто 5 единиц плюс 5 единиц - это десяток, а 5 десятков плюс пять десятков это десять десятков (сто). И не важно, что именно мы считаем в десятках и сотнях. Мы смогли сформулировать правила, выраженные словами. Кстати, абстрактное мышление начинается с языка…
Ещё один пример обобщения: от перестановки слагаемых сумма не меняется. Дети на конкретных примерах сами это понимают и применяют.
5 + 4 = 9 и 4 + 5 = 9.
3 + 17 комфортнее вычислять, поменяв на 17 + 3.
После некоторого количества примеров, они готовы сами обобщить. И нисколько не удивляются этому свойству сложения. Но что такое «слагаемое»? Это абстракция ещё более высокого порядка, чем число 3 или 5, потому что слово «слагаемое» заменяет собой любое число.
Однако, многие обобщения сложнее и мозг ребёнка не всегда успевает «дозреть» до них в сроки школьной программы.
Как только дети привыкают к натуральным числам, то есть тем числам, которыми можно пересчитать яблоки, груши, конфеты и апельсины, оказывается, что 1 это не обязательно что-то целое и неделимое, есть ещё доли и дроби…
Изучая дроби, опять приходится идти от конкретных наглядных примеров к обобщениям. Ни один учитель не обходится без кусочков пиццы, тортика или долек апельсина при объяснении таких понятий как «доля» и «дробь».
Что интересно, есть дети, которые буквально на втором уроке изучения дробей ни в каких конкретных примерах для понимания операций с дробными числами не нуждаются, а есть дети, которые на второй год изучения, все ещё уточняют 3/1 это всё-таки 3 или 1/3. А 5/5 это сколько? И приходится каждый раз возвращаться к пицце и тортику.
Разрезали значит мы твой торт на пять кусочков. Один кусочек это сколько? Правильно, 1/5. А пять кусочков вместе это сколько?
Вернемся к абстрактному мышлению. Нам не нужно запоминать, что
5 + 3 = 8 и 3 + 5 = 8,
7 + 1 = 8 и 1 + 7 = 8
и так далее для всех чисел, которых бесконечное множество, потому что мы можем запомнить общее правило, выраженное через абстрактные понятия «слагаемое» и «сумма».
Абстрактное мышление помогает нам обобщать и компактно хранить информацию в памяти.
Абстракции позволяют формулировать законы окружающего мира. А математика - это самый экономичный язык для хранения информации об устройстве этого мира.
Для того, чтобы запомнить формулу расчета расстояния при постоянной скорости движения ( а дети постоянно забывают) нужно конечно, чтобы мозг сам пришел к этому обобщению.
Если ты шел два часа, а твоя скорость пять километров в час, сколько ты прошел?
Обычно дети отвечают правильно. Даём ещё пример. И ещё пример. Пока не выведет для себя, что S = v * t, где v - скорость, а t - время.
Итак, что делать, если ребенок в двадцатый раз спрашивает:
А единица это шесть первых или шесть шестых?
Ответ: давать ему новые примеры для решения и их объяснение!
Поверьте, однажды его мозг замучается вспоминать каждый раз конкретные примеры и перейдет сам к абстрактному пониманию. И тогда не только 5/5 станет равно 1, но и (a+b)/(a+b) тоже, а тут недалеко до магических сокращений...
Так устроен любой человеческий мозг. А вот жалеть ребёночка не нужно, учиться ходить тоже было тяжело. Делать за него «домашки» или разрешать их списывать с гдз - лишать возможности расправить крылья как можно быстрее…
Мы не расправим крылья за них, но мы можем показывать, как это делать…