В этой статье мы найдем все подгруппы группы S3.
1. Группа перестановок 3х элементов.
Напомню, что S3 — это группа из 6-ти разных перестановок:
(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2), (3, 2, 1).
То есть, каждый элемент S3 можно воспринимать как биекцию, отображающую множество {1, 2, 3} на себя.
Например, перестановка (2, 1, 3) меняет местами 1 и 2, но оставляет 3 на месте.
Понятно, что можно применить одну перестановку после другой, в результате получив новую перестановку.
2. Классификация перестановок.
Введем некоторые обозначения для элементов S3, которые помогут нам в дальнейшем:
Кстати, все элементы a называются транспозициями, b — циклами длины 3. Будем обозначать множество всех транспозиций группы S3 как A, а множество циклов длины 3 как B. Ясно, что S3 = {e} ∪ A ∪ B.
3. Композиции перестановок.
Поговорим теперь подробнее о композиции двух перестановок. Композицией перестановок p и q будем называть перестановку p⋅q, результат действия которой аналогичен результату следующих действий: применить сначала перестановку p, а затем q.
Например, если применить любую транспозицию к самой себе, все числа вернутся на свои места, то есть ∀a ∈ A : a⋅a=e. Вот еще несколько примеров:
Приведем полную таблицу композиций перестановок в S3.
Здесь каждая клетка таблицы — это композиция самого левого элемента строки и самого верхнего элемента столбца, содержащего клетку. Именно в этом порядке, а не наоборот.
4. Подгруппы группы S3.
Теперь вспомним про тему статьи и основную ее цель. Приступим к поиску подгрупп группы перестановок трех элементов. Давайте сначала освежим в памяти определение группы и подгруппы и посмотрим на них на примере S3.
Группой называется непустое множество G с двуместной операцией *, действующей из G×G в G, такой, что выполнены 3 условия:
1. Ассоциативность операции * :
2. Существование нейтрального элемента в G:
3. Существование обратных элементов:
Тем самым можем убедиться в том, что S3 — самая настоящая группа, нейтральный элемент которой есть перестановка e, все перестановки множества A являются обратными самим себе, и два элемента множества B обратны друг другу:
Подгруппой некоторой группы G с операцией * называется любое подмножество H множества G с той же операцией *, только ограниченной на H, если H с такой операцией * тоже является группой. То есть, при взятии любых двух элементов из H, их композиция тоже должна лежать в H, а также для любого элемента H обратный к нему обязан лежать в H:
Давайте теперь подумаем над тем, какие подгруппы есть у группы S3? И вообще, какой алгоритм нахождения этих подгрупп можно придумать?
Так как S3 конечна, можно смело воспользоваться таким алгоритмом:
- Завести множество H и положить сначала туда только нейтральный элемент e (это и есть наша первая подгруппа).
- Поочередно перебирать все остальные перестановки и делать следующее: добавлять их к множеству H и смотреть, какие еще перестановки обязаны находиться в H, чтобы это множество стало подгруппой. То есть, необходимо добавлять к H также все композиции уже содержащихся там перестановок и перестановки, обратные к содержащимся в H до тех пор, пока это возможно делать.
- Получающиеся в результате множества с операцией композиции перестановок будут подгруппами группы S3. Заметьте, чтобы перебрать все подгруппы, нужно применить пункт 2 также ко всем результатам первой итерации добавлений перестановок к H.
Если этот алгоритм кажется Вам запутанным, возможно все станет понятней, когда мы будем его применять и полностью распишем все подгруппы группы S3:
Тем самым получаем, что у группы S3 6 подгрупп (включая ее саму).
Спасибо за внимание, надеюсь, было интересно/полезно :)