Много лет назад академик Андрей Николаевич Колмогоров попытался ввести в школьный курс математики побольше строгости. Одной из наиболее ярких его инноваций стало использование честного слова "конгруэнтность" для случая двух геометрических фигур, которые "совпадают при наложении" (в более ранних и более поздних учебниках это понятие заменено словом "равенство"). И как же сильно страдали родители школьников, которым довелось по этим программам учиться!
Некоторые даже (консультируясь друг с другом) пытались своим детям вместо того, как написано в учебнике, рассказать, "как правильно" (на их взгляд). А на их взгляд правильно, разумеется, называть конгруэнтные фигуры "равными" - их так учили. Вот и у одной из моих подписчиц нашлась история про папу, который хотел донести до неё "свет" своей единственно верной позиции:
Но - не преуспел он в этом, потому что дочь упрямством явно пошла в него - и уже сама стала доказывать ему, что "это разные понятия". Правда, пример для этого выбрала какой-то устрашающе некорректный. Потому что человек - это ну никак не множество точек ни на плоскости, ни даже в пространстве! И для людей понятие конгруэнтности скорее не определено. Да с понятием равенства людей тоже всё не просто: два разных человека равны только в сознании правозащитников, но вот один и тот же человек - равен самому себе? Или нет? А если он внешность изменит? А если имя? А если, прости Господи, пол?
Юридически - это всё один и тот же человек, конечно. Ну, то есть, точно так же, как множество городов на Марсе, множество трёхлетних академиков РАН или множество комментариев под этой статьёй в момент её публикации - это одно и то же множество. Точно так же, как правильные треугольники АВС и СВА - это одно и то же множество. Кстати, а если взять, например, неравносторонние, то будет ещё забавнее: они по-прежнему равны (как множества), но при этом уже не конгруэнтны (если требовать наложения в том порядке, в котором вершины перечислены).
Юмор в том, что в математике есть очень много разных равенств. И проблема с определением этого понятия для геометрических фигур - не единственная (и не первая даже хронологически, возникающая в школьной программе), с которой сталкиваются педагоги и ученики. Ещё в шестом классе (по-хорошему и раньше) появляется такое явление, как дробь. И, кажется, академик Колмогоров всё-таки не предлагал говорить, что дробь 1/2 конгруэнтна дроби 2/4 - все говорят, что эти дроби именно равны. Но постойте - ведь это же разные дроби! Совершенно разные картинки, с совершенно разным набором символов! Почему мы тогда их называем равными, а конгруэнтные треугольники - ни-ни, ведь они "лежат в разных местах"?
Я, к сожалению, в пылу обсуждения не вспомнил об этом примере, чтобы задать этот вопрос о равенстве дробей Марии, но давайте пофантазируем, что я задал бы этот вопрос: конгруэнтность дробей (в том смысле, что они задают одно и то же число) и их равенство - это одно и то же или нет?
Конечно, это обман: конгруэнтность в геометрическом смысле для дробей не работает - дроби 1/2 и 2/4 выглядят совершенно по-разному, чтобы называть их конгруэнтными. Они равны - в том смысле, что задают одно и то же число. Это же самое число можно задать ещё кучей разных способов: и 0,5, и 0.5, и 50%, и 3/6, и даже 0.1 (в двоичной системе). Куча разных изображений - а число одно. Поэтому мы используем знак = и пользуемся понятием равенства.
Но позвольте - в чём отличие этой системы от равенства геометрических фигур? Ни в чём! Мы точно также имеем право собрать целый класс "похожих друг на друга" (конгруэнтных) фигур и называть их равными, если нам не хочется ломать язык, и ставить знак = в смысле вот такого нового понятия равенства. Геометрия вообще никак не сломается от того, что мы используем другой термин.
Кто учился математике чуть более высокого уровня, чем в школе, тот знает, что есть такое понятие, как отношение эквивалентности. И с учётом его свойств для эквивалентных (причём по любому из этих отношений - будь то конгруэнтность геометрических фигур, одинаковые остатки у целых чисел при делении на 2024 или представление двумя дробями одного рационального числа) объектов мы можем использовать знак = и термин "равенство". Иногда (геометрия, дроби) - так и делают, иногда (те же остатки) - нет. Но всё это допустимый вариант.
Разумеется, всего этого аппарата теории множеств нет в обычной школьной программе (возможно, уже есть в новом курсе ТВиМС, но там так мало часов, что даже если вдруг 1-2 часа и отведены - или будут отведены впоследствии - то никто и не заметит), поэтому для простых школьников нет смысла подчёркивать разницу между "равенством как геометрических фигур" (конгруэнтностью) и равенством как множеств - как нет смысла и подчёркивать разницу между равенством дробей (совпадением картинок) и равенством чисел, которые они выражают.
То, что школьники, узнавшие что-то, чего не знают взрослые, всегда будут себя чувствовать привилегированной кастой - не новость. Мы в 6 классе узнали, что "множество - это неопределяемое понятие" - и терроризировали потом учителя математики, одноклассников и всех родителей, до кого смогли дотянуться. Такое развлечение: спросишь "Что такое множество?" - люди пытаются объяснить это своими словами - а ты торжествующе резюмируешь, что это "неопределяемое понятие". Понимали мы тогда, что значит это словосочетание и почему оно ни разу не обнуляет попыток собеседника объяснить? Нет конечно! А понимала ли Мария, что зря доказывает, что "конгруэнтность и равенство - разные вещи"? А понимал ли Андрей Николаевич Колмогоров, что для большинства школьников слово "конгруэнтность" будет лишь магическим заклинанием и поводом "кинуть пальцы" перед "непросвещёнными" родителями, которых "учили неправильно", а сути этого понятия они всё равно не поймут?
Получается, что нет смысла вбивать в головы школьникам истинное название, а лучше и проще называть конгруэнтные фигуры равными: с одной стороны, это и не совсем неправда, с другой - будет одним страшным словом меньше. Лепота!