Великая империя инков! Ее золотые сокровища, полигональная кладка циклопических построек, удивительное искусство и ни на что не похожая организация общества волнуют многих. Но собственно империя существовала всего сто лет — с середины XV века, когда ее создал девятый Инка Пачаку́ти (Пачаку́тек Юпа́нки), до середины XVI века, когда ее уничтожили испанцы. Но она собрала опыт, мировоззрение и принципы политической организации огромной территории Анд за предыдущие две с лишним тысяч лет — культур Чави́н, Тиуана́ко, Чапапо́йас, Мо́че (Мочи́ка), Чиму́. А называлась империя Тауантинсýйю, что значит Четверка земель. Уже в этом наименовании присутствует математика, игравшая особую, священную роль в инкской культуре и пронизывавшая все устройство государства.
Так, для контроля над многоэтничным населением применялась десятеричная система. Чиновник-счетовод камайок отвечал за определенное количество семей и отчитывался за них (за произведенные ими продукты и предметы, количество детей, подати и т.д.):
Puriq (букв. ходок) — 1 семья
Pichqa kamayuq (5-камайок) — 5 семей
Chunka kamayuq (10-камайок) — 10 семей
Pichqa chunka kamayuq (50-камайок) — 50 семей
Pachaka kamayuq (100-камайок) — 100 семей
Pichqa pachaka kamayuq (500-камайок) — 500 семей
Waranqa kamayuq (1000-камайок) — 1000 семей
Pichqa waranqa kamayuq (5000-камайок) — 5000 семей
Hunu kamayuq (10 000-камайок) — 10 000 семей
Благодаря четкому, математически выверенному контролю инкам удалось создать огромную, высокоразвитую и хорошо управляемую империю.
Начнем с истоков. (Обратите внимание: если через косую даны два разных индейских слова, первое из них — на языке кечуа, второе — на языке аймара́; это две основные андские народности.)
СОТВОРЕНИЕ МИРА
В незапамятные времена (в андской традиции они называются Ч’а́мак Па́ча — Мир тьмы) Луна (Ки́лья/Пахси), Солнце (И́нти/Лупи) и звезды (Уарауарана́ка) жили в одном небе. Жизнь была простой.
Однажды Солнце и Луна встретились и полюбили друг друга. Они решили пожениться. Инти мечтал о будущем потомстве, Килья — о счастливых часах, что проведут вместе.
Но Великий дух Пачакха́мак (его имя значит «Сто лож» — и тут математика!) знал, что этот брак невозможен: поколения растений, животных и людей, которые родятся от этой любви, не смогут выносить одновременно жаркий пыл Солнца и меланхолическую грусть Луны. Пачакхамак решил разлучить влюбленных, и, стоило им оторваться друг от друга, родилась Земля (Пачама́ма/Ура́ки). Земля навсегда встала между Солнцем и Луной. Так возникли день и ночь: день для Солнца и ночь для Луны.
Горько зарыдала Луна и плакала без конца, отчего случился первый андский потоп. Лунные слезы до сих пор текут в андских реках, собираясь в великом озере Титикака.
Пришло на ум Солнцу встречаться с любимой тайком. Но Килья не согласилась: раз им не суждено пожениться, встречи их будут горькими. Инти вставал очень рано, стремясь увидеться с возлюбленной, но она ложилась еще раньше, чтобы избежать свидания.
Однажды, то ли случайно, то ли по воле судьбы, Килья замешкалась. Лунная дорожка еще серебрилась в водах озера Титикаки, когда над горизонтом показался Инти. Его золотые лучи слились с отражением Луны. От этого слияния родилась жизнь в Андах и повсюду на Земле.
Всякий раз, когда отражения Солнца и Луны предаются любви на водной глади Титикаки, возникает жизненная сила, которая передается всем существам на Земле. Вот почему индейцы Анд поклоняются Солнцу, Луне (ее в народе зовут Мама Килья), своему священному озеру и всему живому.
ФИЛОСОФИЯ СВЯЩЕННЫХ ЧИСЕЛ
В этом мифе отразились важнейшие понятия андской культуры. Тут нам понадобятся символы андской священной математики, или ритуальной числовой философии. (Немного позанудствуем.)
1. Предсуществование недифференцированного Всего.
2. Необходимость познания себя как такового (первое отражение/рефлексия).
3. Момент встречи со своим перевернутым отраженным образом; отраженный образ (представленный луной) — это образ первой дифференциации (представленной солнцем).
4. Высвобождение отраженного образа (Луны) из-за вмешательства Земли.
5. Происхождение дуализма как первая предпосылка последующего акта творения (жизни).
6. Стремление к воссоединению.
7. Воссоединение отраженных образов в водах озера Титикака (второе отражение, или рефлексия).
8. Установление времени/пространства самим актом творения.
Так в символической форме представлено поэтапное выделение из недифференцированного Всего дифференцированного, или индивидуализированного существования частей природы.
Единство в себе, или единство в единстве, но также и единство во множественности, в двоичности, в троичности, в четверичности и т.д.
Свойства чисел определяются позицией и последовательностью эманации; этой эманации чужда изоляция или конкретное разделение, потому что в ней заключены все качества, выходящие из целостности, но, несмотря на это, каждое из свойств обретает собственную ценность. Это философское положение исключительно важно; оно управляет повседневной жизнью андских индейцев. Так, в а́йлью (традиционной индейской общине) пахотная земля ежегодно распределяется между ее членами, но никогда не считается частной или разделенной на участки. Зато продукты и дом соотносятся с семьей и могут свободно использоваться.
Теперь от божественной сферы перейдем к области чисел как чрезвычайно важных философских начал.
ЕДИНИЦА — это первородность, первопричина. Это предсуществующее Все и исток космоса. Первая ступень геометрически выражается простой спиралью, которая является основной формой космического движения. Поэтому нет другого геометрического элемента (по крайней мере, в андской культуре), который мог бы вместо этого знака представлять первоначало, первородность.
ДВОЙКА — это созидательный импульс единственной причины, первое видимое разделение. Видимое — потому что это разделение внутреннее, оно не разрушает единства. Двойка очень важна в андской космологии, поскольку она проходит несколько предварительных этапов индивидуации еще в рамках единства, создавая условия для творения как такового. Последний этап представлен двойной спиралью, получившейся в результате первого отражения/рефлексии:
Она символизирует порождающее движение, отраженное удвоение и первичное разделение спирали. Сравните:
ТРОЙКА — жизнь, звук и материальное проявление всего (творение); вот почему любая часть творения, любой конкретный предмет является частью этого творения и представляет единство в троичности.
Только при единстве в троичности существует конкретное бытие — живое существо, вещь, мир, жизнь; мало того, оно есть часть творения в цепи многих творений, да еще и выраженная в качестве числовой величины как единство в троичности, то есть в индивидуальности. Андская троичность выражается в порождающем энергетическом существе с его активным ассимилирующим соответствием, которое в божественном соитии создает известную нам духовную и материальную жизнь. Пачакхамак — это энергетическое начало, пара Солнца и Луны — начало порождающее, а Пачамама — чрево и местонахождение творения.
Тройка — производное порождающей двоичности, которое создает еще одну спираль:
Этот символ выражает троичность, в которой духовная двоичность создает материю, то есть условия земной жизни.
ЧЕТВЕРКА — это развертывание творения в земной (материальной) действительности, где неизменно существует дуализм: свет и тьма внутренне связаны c сущностной полярностью духа и материи. Полярность — непременное условие человеческого разумения и гармоничности сознания.
Символ четвертки — соединение (сплетение) двух двойных спиралей. Уже в символе третьего качества двойная спираль представляет не первичную двоичность, но полярность с ограниченной возможностью творения. И символ, и само четвертое качество вытекают из двоичности и порождают двойную материально-духовную полярность, в которой быть нисходящим в андской философии не значит быть подчиненным. Материальная сфера обладает собственной свободой, а ее существование имеет космическое обоснование. Поэтому она содержит в себе самой собственную созидательную силу, происходящую из первого дуализма (дух/душа), и, в свою очередь, отражает первичный дуализм. Ее двойная полярность уже не кажущаяся, а действительная, и имеет дело с мужским и женским по отдельности. Первичная цель двойной полярности — создание пространства для развития и самовыражения в культуре разных народов. Это четырехчастное пространство — Тауантинсуйу, или Пусисуйу (tawa— 4 на языке кечуа, pusi — 4 на аймара, suyu — область, провинция) — находится по ту сторону материальной и духовной сферы, выражая всемирный закон гармонических отношений.
В андском мировоззрении он управляет схематическим порядком во всех общественных и политических областях, например:
— четыре главные народности империи — Кунтури (народ Кондоров), Катари (народ Змей), Уарачи (народ Викуний), Пумата (народ Пум);
— четыре провинции Тауантинсуйу — Кунти Суйу (Kunti Suyu), Колья суйу (Qulla Suyu), Анти суйу (Anti Suyu) и Чинчай суйу (Chinchay suyu). Из столицы Куско (Qusqu) в четыре стороны выходили четыре дороги, и каждая из них именовалась по названию той части империи, в которую она вела;
— четыре эпохи исторического цикла — Ча́мак Пача (пространственно-временная эпоха тьмы, или подготовки), Тхуру Пача (эпоха консолидации), Кхана Пача (эпоха сияния, или апогея), Пурум Пача (эпоха дикости, или упадка).
У мистической четверки множество сфер применения. Четверичность укоренена в языках и культуре андских народов.
ПЯТЕРКА — это динамическое равновесие всего, непреложный закон компенсации: любое действие определяет соответствующую реакцию, и наоборот. Мало того, любая мысль компенсируется реализацией. В пятом качестве андская духовность ищет и находит союз с первичным Всем, оживляет момент божественного творения, преодолевая индивидуальность и в момент ритуала вступает в мистический союз со своим истоком (это происходит в религиозных празднествах равноденствий и солнцестояний). В это мгновение энтропия общества обретает новую энергию. Утвердить новый порядок, цикличность хаоса и космоса становится предназначением жизни. Сравните:
В символе пятерки можно увидеть двойную абстракцию: двойная пирамида, взаимно отраженные части которой соприкасаются вершинами.
или
, где удвоенная пятерка становится ДЕСЯТКОЙ, и ее символ, двойная пирамида, представляет космос.
Конечно, тема мистических чисел андского мира гораздо шире. Ограничимся основными аксиомами этого мировоззрения.
1. Единство в себе мыслится только во множественности или, по крайней мере, в первичной двойственности.
2. Единство неотделимо от двойственности, и наоборот.
3. Закон аналогичности: что наверху, то и внизу, и наоборот.
4. Закон сходства: нет ничего одинакового, все сходно.
ТАБЛИЦА МИСТИЧЕСКИХ СИМВОЛОВ АЙМАРА
А теперь перейдем к практической математике андских народов. Речь пойдет о числовой системе, счетной доске и технике (алгоритме) вычисления.
Первые сведения об андской математике пришли к нам из нескольких хроник XVI века, написанных испанцами и крещеными метисами. Данные обрывочные и поверхностные, но дающие представления о необычных способах и большой точности вычислений в Тауантинсуйю.
Хосе де Акоста (1540-1600) в своей «Естественной и нравственной истории Индий» пишет: «…видеть у них другой вид кипу, где используют зерна маиса, это восхитительно, потому что для очень затруднительного подсчета, делать который очень хорошему счетоводу пришлось бы пером и чернилами, чтобы узнать, сколько на кого из такого множества приходится налога, вычитая столько-то оттуда и прибавляя столько-то сюда, с кучей всякой околесицы, возьмут эти индейцы свои зерна да и положат одно тут, три там, восемь еще где-то; одно зерно переместят отсюда, три заменят там, и глядишь, выходит у них распреточнейший подсчет, ни на черточку не ошибутся, и куда лучше умеют они рассчитать и обосновать, сколько каждому надлежит заплатить или отдать, чем сумели бы получить мы проверенными пером и чернилами. Не хитроумие ли это и не бестии ли эти люди, судите, как кто хочет, ну а я так уверен, что в этом их умении они намного нас опережают.» (Перевод В.Левина)
Из этой и других хроник следует, что:
1. андская культура знала десятеричную систему задолго до Конкисты;
2. для числовой записи использовали веревки с узелками — кипу;
3. десятеричная система Анд подразумевает расположение чисел (сил) сверху вниз (что и демонстрируют кипу); кипу служили для записи, передачи и хранения данных в архиве. А для подсчетов была нужна счетная доска юпана (от кечуанского глагола yupay, считать; название предложил в 1981 г. английский инженер Уильям Бернс Глинн).
4. комбинация чисел и определенных цветов подчинялась традиционной мнемотехнической системе; это значит, что сочетание цветов с числами в определенной позиции соответствует особому концептуальному миру;
5. арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) осуществлялись с помощью камешков, зерен маиса и т.п., что в Андах делают и сегодня;
6. для произведения расчетов у андских индейцев была особая техника; как свидетельствует Хосе де Акоста, в ее основе лежало сочетание цветов и числовой оценки, связанной в том числе с положением вокруг сил; сегодня в индейских общинах при подсчетах используются всего два цвета.
Для начала познакомимся с индейскими названиями чисел (q читается к, ch — ч, w — как английское w, передается на русском как у, h — х, ll — ль):
В любой числовой системе существуют два способа представления чисел. Первый (количественный) — присвоить знак единице и повторять его, сколько надо. Второй (порядковый) — присваивать свой знак каждому числу. У обеих систем есть недостатки. Например, в последовательно количественной, начиная с четвертого знака, числа трудно распознать с одного взгляда, и надо считать единицы. С другой стороны, присваивая каждому числу свой знак, мы затрудняем осуществление математических операций. Вот почему в современной европейской десятеричной системе для представления бесчисленного множества чисел всего девять цифр и ноль.
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ СИСТЕМА
ПОРЯДКОВАЯ СИСТЕМА
Андская десятеричная система знает три варианта. В узелковой письменности тоже девять знаков (узлов францисканского типа) и пустота (пропуск), аналогичная нулю. В ритуальной числовой системе пять знаков для первых пяти чисел и особый знак для десяти, так что она обходится без нуля. А для работы на счетной доске юпане используют всего два знака (в действительности один, но разного цвета) и позиционную пустоту, эквивалентную нулю. Дальше они будут называться «операторами».
Единица (1) = (например, зерно желтого маиса)
Пятерка (5, пятеричная единица) = + + + + = (например, зерно черного маиса)
Так что в операциях на счетной доске очевидны следы пятеричной системы, которая, очевидно, предшествовала десятеричной. Еще нагляднее это проявляется в языке аймара (и наверняка в прото-аймара). Названия чисел от 6 до 9 — составные; они включают имена первых пяти чисел:
Есть и другие следы пятеричной подсистемы в андской десятеричной системе. Вот, например:
100 — PA-TAKA (в TAKA угадывается прото-аймарское «пятьдесят), то есть = 2 х 50
Пятеричность присутствует как подоснова и в андских ритуальных знаках. Интересно, что ее до сих пор используют в расчетах на рынках Ла-Паса.
РАБОТА С ЮПАНОЙ
Сравните: — возможное воспроизведение центральной части юпаны в одном из мотивов токапу:
Археологические находки показывают, что юпана была для инков чем-то большим, чем просто счетной доской. Ее трехмерная конструкция, очевидно, воспроизводила сакральные представления о Земле-Пачамаме и Куско, городе Первого Инки — Манко-Капака. Математические операции, таким образом, приобретали священный смысл. И перемещение операторов (зерен или камешков) было не только горизонтальным, но и вертикальным — не только в другие разряды, но и в другие уровни бытия.
Существуют разные реконструкции подсчетов на юпане. Рассмотрим вариант, который продвигал боливийский исследователь Хорхе Миранда Луисага, стремившийся внедрить обучение традиционной андской математике в сельских общинах своей страны. Он, как и его единомышленники в Колумбии, Эквадоре и Перу, использовал модернизированную (двумерную) счетную доску, где, в частности, счет ведется не сверху вниз, а справа налево.
Операторов здесь всего два — единица, представленная, например, зерном желтого маиса, и пятеричная единица в виде зерна черного маиса (это могут быть белые и черные камешки или любые другие контрастные мелкие предметы). Позиционным нулем служит всякая пустая клетка юпаны. Числа представляются таким образом:
Дойдя до десяти, мы исчерпали возможности пятеричных единиц. И они должны перейти в соседнюю клетку слева, чтобы стать десятеричными. Правая клетка становится пустой и играет роль нуля.
Использование операторов в зависимости от их позиционного значения пронизывает всю десятеричную систему. Так, оператор «единица» среди единиц имеет значение единицы, среди десятков — десяти, среди сотен — ста, и т.д.:
Модернизированная юпана, предложенная Хорхе Мирандой, выглядит так:
(Обозначения:
Е — Единицы; Д — Десятки; С — Сотни; Т — Тысячи; ДТ — Десятки тысяч)
СЛОЖЕНИЕ
Это самая простая операция, и на юпане она строго подчинена законам математики.
Сумма получается так:
1. Каждое число (слагаемое) расставляется на доске по горизонтали.
2. Слагаемые ставятся одно под другим.
3. Чтобы получить сумму, сначала перемещаем все операторы каждого разряда строго вниз в соответствующие ячейки промежуточного ряда (правило группировки).
4. Смешавшиеся в каждой ячейке операторы надо «очистить» (правило упрощения):
б) любая пара пятеричных единиц превышает возможность любого разряда (Е, Д, С, Т, то есть столбца) и должна переместиться в соседний столбец слева, став единицей соответствующего разряда. Реорганизованные цифры и составляют искомую сумму.
ВЫЧИТАНИЕ
Это операция, обратная сложению. Тут нужно учитывать:
1. Горизонтальное расположение каждого из чисел, как и при сложении;
2. Вертикальность вычитания: уменьшаемое стоит сверху, а вычитаемое — снизу;
3. Уменьшаемое всегда больше вычитаемого или, по крайней мере, равно ему (правило вычитания);
4. То, что остается от уменьшаемого (большего числа) после вычитания, и есть результат (разница), который переносится в строку конечных результатов.
Если прямое вычитание невозможно, потому что в вычитаемом некоторые цифры больше соответствующих (стоящих наверху их) цифр уменьшаемого или содержат пятеричную единицу, надо прибегнуть к числовому разложению, то есть:
а) пятеричная единица (зерно черного маиса) заменяется пятью простыми единицами (5 зернами желтого маиса);
б) если в каком-то разряде (столбце) цифра оператора в вычитаемом не позволяет осуществить ее вычитание (больше уменьшаемой цифры), надо прибегнуть к следующему разряду, который при этом как бы делает шаг назад, и «занять» у него.
Высшая единица делает шаг назад (направо), в соседнюю ячейку раз и становится 10-ю единицами предыдущего разряда, то есть двумя пятеричными единицами, а если необходимо, десятью простыми единицами, из которых и убираются (вычитаются) нужные:
5. После этого результат (оставшиеся операторы) при необходимости очищается:
УМНОЖЕНИЕ
Умножение — результат многократного сложения, которое после конечного (диагонального) суммирования дает нам результат (производное). Юпана позволяет научиться умножать, не заучивая таблицу умножения. Практикуясь в работе с юпаной, человек постоянно совершенствуется в этом умении.
Для обучения нужны всего несколько правил, причем, некоторые нам уже известны из операций сложения. Сначала усвоим расположение множимого, множителя и производного.
Множимое ставится сверху, у края счетной доски, в соответствии со знакомыми нам разрядами чисел. Множитель располагается слева вертикально. Его единицы занимают нижнюю ячейку основной рабочей части у левого края, в следующую ячейку сверху ставят десятки, затем сотни и т.д.
Как умножают?
1. Делаются промежуточные сложения в системе координат в соответствии с сочетательным законом (произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих множителей заменить их произведением):
2. Получив промежуточные суммы, осуществляем очистку в каждой строке, чтобы сократить число операторов и облегчить работу с ними.
3. Чтобы получить конечный результат, осуществляется «диагональное суммирование».
4. Результат последний раз очищают, при необходимости перемещая операторы в более высокие разряды (прыжок операторов). После этого упорядочивания получаем конечный результат. Вот пример:
325 х 237 = 77025
ДЕЛЕНИЕ
Деление — действие противоположное умножению. Это расчленение делимого, прямо пропорциональное числу делителя. Поэтому числовые значения мы располагаем в порядке, обратном относительно умножения: делимое ставится внизу основной рабочей части (там, где при умножении было произведение). Делитель находится вдоль левого края (там, где был множитель), а результат (частное) — вдоль верхнего края.
При делении мы всегда начинаем с числа самого высокого разряда (крайнего слева). Например, с тысяч, если делимое начинается с них. И с ним будет сопоставляться самый высокий разряд делителя. Сначала надо удостовериться, помещается ли число делителя кратно в числе делимого. Для этого перемещаем каждый оператор делимого вверх вдоль соответствующих диагоналей в соответствии с сочетательным законом, до строки разряда делителя и считаем.
Если число можно разделить без остатка, операторы остаются в этой строке. Результат вычисления заносится другими операторами в строке результата (частного), сверху.
Например, в делимом у нас 6 единиц (в разряде тысяч), а в делителе 3 единицы (в разряде десятков). Единицы делимого перемещаем по соответствующей диагонали до соответствующего столбца (десятков); убеждаемся, что в шести единицах делимого два раза помещаются три единицы делителя. Так что 6 операторов делимого остаются в этой ячейке. Результат (2) заносим двумя новыми операторами в строке частного. Тут же можно проверить наш результат обратным процессом — умножением частного на делитель (6 х 2).
Если число в делимом не кратно делителю (не может быть разделено без остатка), надо разложить его на единицы более низкого разряда (прыжок назад) в строке, пересекающейся c соответствующим разрядом делителя, и сделать новую попытку с полученным значением по указанным правилам: двигаться по соответствующей диагонали, учитывать сочетательный закон и заносить результат новыми операторами в верхнем ряду, у края доски.
Делить не всегда получается без остатка. Числа (операторы) остатка надо разложить таким же способом.
На второй диагонали остаток должен покрыть все находящиеся на ней ячейки, и если снова будет остаток, то его тоже надо разложить и повторять, пока деление не будет закончено. И результат можно проверить обратным умножением.
Вот конкретный пример. Надо разделить 1147 на 37. Делимое и делитель помещаем на отведенные для них места (делимое горизонтально слева направо, делитель вертикально сверху вниз).
В этом случае 1 (в разряде тысяч) делимого меньше 3 (в разряде десятков) делимого, и является неделимым. Поэтому надо ее разложить (с прыжком назад). В разряде сотен делимого у нас получается 11 единиц. Перемещаем их по диагонали к ячейке на пересечении B1 и B. 11 единиц, деленные на 3, дают 3, а в остатке у нас 2. Новыми операторами заносим результат в ячейке B. 9 использованных единиц остаются в ячейке B1/B, а оставшиеся 2 подвергаем разложению. В ячейке десятков делимого сейчас находятся 24 единицы. Их нужно переместить по соответствующей диагонали. Важно учесть, что первой должна быть заполнена операторами ячейка A1/B1, где уже находится результат 3.
Там мы обязательно используем 21 оператор, чтобы подтвердить предыдущий результат. Если хотя бы с одним оператором это сделать нельзя, нужно «остановить» этот результат и заново распределить операторы. Результат будет понижен в разряде хотя бы в одной единице. С остальными операторами — в нашем случае, с тремя — продолжим деление. Они находятся в ячейке А/B1 и должны быть поделены на три. Остаток равен трем, и цифра делителя аналогична ему. Частное равно 1. Оно заносится выше, в ряд результатов, и в остатке ничего нет. Для проверки последнего результата понадобятся ровно семь единиц. Их мы достанем в разряде единиц, и деление закончено.
Итак, для получения правильного результата при делении двигаемся по диагонали в обратном по отношении к умножению направлении, иначе ничего не получится.
Этот метод деления логичен для архаичного андского мировоззрения с его дополняющими друг друга противоположностями. Пример — духовой музыкальный инструмент сампо́нья: в нем тоны распределены так, что можно играть снизу—направо—вверх— налево или наоборот. Мотив дополнительных противоположностей есть и в древнем андском текстиле.
Этот же метод, лишь кратко изложенный здесь, покрывает немалую часть современной математики. По сути, речь идет о матричном вычислении, которое позволяет легко извлечь квадратный корень и решить уравнения различных степеней. Так что метод достаточно гибкий.
Интересно, что энтузиасты в Боливии, Колумбии, Эквадоре и Перу не только исследуют древнюю андскую математику, но и стараются внедрить обучение ей в сельских общинах.
Библиография
1. José de Acosta. Historia natural y moral de las Indias. Sevilla, 1590
2. Inca Garcilaso de la Vega. Comentarios reales de los incas. (в рус. переводе Инка Гарсиласо де ла Вега. История государства инков / перевод со староисп. В.А. Кузьмищев; отв. ред. Ю.В.Кнорозов. — Л. : Наука, 1974. — (Литературные памятники).)
3. Blas Valera. Exsul immeritus blas valera populo suo e historia et rudimenta linguae piruanorum. CLUEB, Bologna, 2007
4. Fernando Montesinos. Las Memorias Antiguas historiales y políticas de Pirú. Revista de Buenos Aires, 1869-71
5. William Burns Glynn. Calculation table of the Incas. Bol. Lima, № 11, 1981, 1-15
6. Jorge Miranda Luizaga. Filosofía andina: fundamentos, alteridad y perspectiva. , Hisbol/Goethe Institut, 1996
7. Jorge Miranda Luizaga. Manual de uso del ábaco andino: una alternativa de enseñanza-aprendizaje de la matemática en area andina. Comisión Episcopal de Educación, Sucre, 1991
8. Victoria de la Jara: Vers le déchiffrement des écritures anciennes du Pérou. La Nature 3387, 241247, Paris, 1972.