Задача о вписанных квадратах в двух вариантах (частном и общем) была предложена для обобщения формулы длины стороны x квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами a и b (эта формула упоминалась как полезный инструмент при решении некоторых геометрических задач в ряде выпусков канала «Наглядная геометрия»):
Подробные решения предложенных частной и общей задач именно в такой последовательности представила одна из читательниц. Теперь, подводя итоги, я сделаю всё в обратном порядке: сначала получу общую формулу для длины стороны вписанного квадрата, затем с её помощью решу общую задачу и, наконец, частную.
Пусть у нас имеется произвольный треугольник, на одной из сторон которого можно построить вписанный квадрат. Нам известны длина этой стороны - b и опущенная на неё высота– h (см. рисунок).
Воспользовавшись подобием треугольников ABC и A’BC’, запишем пропорцию между их сторонами и высотами, из которой сразу получается простая формула для длины стороны вписанного квадрата.
Эта формула по структуре полностью совпадает с формулой (1). Но она не требует прямоугольности треугольника. Получается, что можно смещать положение его вершины параллельно противоположной стороне, и при этом, как площадь самого треугольника, так и сторона вписанного квадрата (а, значит, и его площадь) будут оставаться неизменными. Это иллюстрируется анимацией ниже.
Из анимации также понятно, что в крайнем положении вершины, когда высота h сливается с боковой стороной a (которая, в свою очередь, становится катетом), формула (2) переходит в формулу (1).
Формула (2) позволяет получить ответ на вторую (общую) задачу. Сравним выражения для длин сторон вписанных квадратов, лежащих на сторонах треугольника a и b, для условия, что a>b.
Учитывая соотношения:
преобразуем выражения (3) и (4) к виду:
Заметим, что числители обоих выражений одинаковы. Поэтому для сравнения размеров вписанных квадратов достаточно оценить знак разности знаменателей в их формулах (тот квадрат меньше, для которого знаменатель в формуле больше):
Таким образом, мы приходим к выводу, что если угол С острый, то вписанный квадрат, лежащий на большей стороне, имеет меньший размер, и соответственно, меньшую площадь.
Но если угол C равен 90° (то есть, 1-SinC=0), то можно подумать, что площади квадратов оказываются равны, несмотря на то, что a>b. Однако, просто в этом случае оба квадрата сливаются в один, опирающийся сразу на две стороны, которые становятся катетами.
Полученный результат можно сравнить с известной теоремой о том, что в треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол (кажущейся очевидной, но востребованной для корректных решений многих задач в геометрии). Здесь, во-первых, всё наоборот. А, во-вторых, есть случай, когда два квадрата вырождаются в один.
Из полученного результата следует ответ на вопрос первой исходной задачи, а именно: в прямоугольном треугольнике вписанный квадрат, опирающийся на гипотенузу, меньше квадрата, опирающегося на два катета, поскольку гипотенуза больше катета.
Для полноты можно еще упомянуть, что в произвольный остроугольный треугольник можно вписать три квадрата, в прямоугольный треугольник можно вписать два квадрата, а в тупоугольный треугольник – лишь один квадрат.
Ну, и теперь напоследок для закрепления предлагаю задачу из нескольких вопросов.