Я в шутку называю его "уравнением для бухгалтеров", так как основная его суть проста до безобразия, но подана столь замысловатым математическим языком что понять его человеку не посвященному очень затруднительно.
В этой статье я решил максимально простыми словами объяснить что это за уравнение и что значит "решить уравнение Эйнштейна".
Начнём с первого.
Я называю уравнение Эйнштейна "уравнением для бухгалтеров", потому что в сущности оно представляет собой уравнением в котором в качестве переменных выступают таблицы (а не потому что я предвзято отношусь к бухгалтерии, хотя... не знаю... может и отношусь), да и само уравнение без потери общности можно по сути считать просто набором инструкций о том, что с этими таблицами нужно сделать.
Грубо говоря у нас есть какая-то таблица (обычно 4х4):
- Мы должны её сначала перемешать так-то...
- Потом найти таблицу которая соотносится с этой перемешанной вот так-то...
- А потом сложить обе эти таблицы поэлементно (ячейку одной с ячейкой другой)...
- И получим в итоге одну новую таблицу.
Вот и всё, это и есть суть уравнения Эйнштейна, разумеется если разбираться пристальнее, операции чуть более мудрёные и к тому же записаны сухим символьным языком математики, так что когда эту формулу видит человек не знающий этого языка он пугается и преклоняется перед величием царицы наук)))) хотя если не пасовать перед этим незнанием оно легко преодолевается, вам даже не обязательно знать всего тензорного анализа... слова-то какие...
Я считаю что понять это может даже семиклассник и я постараюсь объяснить каждое действие буквально на пальцах... точнее на таблицах 4х4 (и не только).
Математики любят абстрагировать и скажут: "глупость, тензоры это не просто таблицы, это гораздо глубже!", - ну так я им отвечу: "что угодно гораздо глубже и замысловатее, если думать об этом годами..."
Кстати, статья о тензорах у меня тоже есть "Что есть Тензор?", там я попытался в 4-х шагах объяснить что такое тензор и чем он отличается от обычной таблицы чисел))) (Если будете читать, имейте ввиду, статья большая)
В этом абзаце я немного отступлю от темы и дам немного мотивации тем, кто сомневается. Я считаю что все концепции придуманные людьми, будь то уравнение Эйнштейна или философия Канта, можно объяснить любому здравомыслящему человеку, потому что люди не очень то и умны: мы думаем что умны, верим что мы венец творения, но в сущности наши идеи тривиальны, бывает среди идей возникают жемчужины, но и они не такие уж сложные если разобраться. Настоящая сложность ждёт человечество ещё далеко впереди, а мы, мы просто капаемся в том что сами и насоздавали, казалось бы - это демотивация, но суть в том что все наши концепции на деле очень примитивны, в них легко разобраться. Основная сложность возникает из-за того, что не все люди понимают то, что делают и в попытке объяснить вываливают тонны лишней информации: это как помогать человеку бежать и советовать ему ещё параллельно бегу жонглировать, декламировать стихи и моргать поочерёдно, - если вывалить на "внимание" очень много лишнего, оно не усвоит даже азов бега, не говоря уже о том, что бы добиться какого-то заметного прогресса в беге...
Возвращаясь к исходной теме, вот как классически выглядит уравнение Эйнштейна (это в общем-то не секрет).
Начать стоит с значка "джи мю ню":
Это по сути одна сущность, и она является здесь базовым строительным кирпичиком, одной таблицей 4х4:
Вот такая таблица. Здесь в её ячейках стоят вопросительные знаки, потому что мы пока не знаем что туда поставить, это могут быть некоторые числа, но обычно там находятся не просто числа, а кое-что посложнее, там находятся какие-то изменяющиеся числа, то есть функции, или иначе это можно считать какими-то простыми закономерностями, если вы не знали или забыли что такое функции, можете представлять себе что в каждой ячейке расположено что-то типа рисунка одной линией (как на рисунке ниже).
Этот рисунок здесь только для наглядности того о чем я говорю, закономерности могут быть сложнее и представлять собой что-то сложнопредставимое))).
Чаще всего я буду пользоваться вот таким видом этой таблицы, для тех кто слышал про матрицы это будет знакомо:
Заглядывая немного вперёд, нам нужно будет подбирать такие изменения в каждую эту ячейку что бы они определённым образом друг с другом соотносились.
Это могут быть изменения зависящие от времени, например как температура остывающего чая, или зависящие от расстояния, как тепло от костра (чем дальше вы отходите, тем вам будет холоднее) или всё вместе... нас никто не ограничивает, важно лишь подобрать такие изменения которые будут подходить в таблицу, которые будут согласованы (это как музыка, звуки должны сочетаться, иначе получится что-то противоестественное).
Для определённости вы пока можете считать что в каждой ячейке находится число, и это не далеко от правды, там действительно числа, но в некоторых участках этого "уравнения" будет важно не само число, а то как оно меняется (быстро, медленно, или же сначала быстро потом медленно и тд...). В общем-то если вы знаете что такое "функция", со школы, можете представить что там некоторые функции.
Я наверное должен упомянуть, что называется эта табличка "метрический тензор", потому что показывает своими числами как измерять расстояние в некотором пространстве для которого его определяют (углубленное его понимание - это тема отдельной беседы). Я упоминаю это для общих сведений, нам это не понадобиться, может быть я напишу вторую аналогичную статью, более углубленную, но сейчас это просто информация что бы вы знали какой математический смысл имеет эта таблица.
Что ж, с тем что "джи мю ню" (хотя я в разговорной речи говорю "же мю ню") это таблица 4х4 мы разобрались, остались ещё два непонятных значка:
Ну тут тоже всё просто: и один ("эр мю ню"), и другой ("тэ мю ню") - это тоже некоторые таблицы 4х4:
Это могут быть такие же таблицы как и таблица для метрики "же мю ню", а могут быть и другие... но того же размера 4х4
Но про них важно знать вот что:
- Таблица "тэ мю ню" - это таблица соответствующая как бы всей массе и энергии в пространстве, она имеет определённую структуру, мы можем закодировать в неё определённым способом планету или черную дыру, или туманность, или соседского мопса и тд, всего не перечесть. Называется эта таблица "тензор энергии-импульса", если интересно как он устроен, можете поискать сами, если мы сейчас начнем с этим разбираться, это затянется...
- Таблица "эр мю ню" - это таблица которая зависит от таблицы "же мю ню" и получается из неё путем определённых манипуляций с ячейками этой таблицы (таблицы "же мю ню"). Ниже большая часть материала будет как раз о том, как получить таблицу "эр мю ню" из таблицы "же мю ню", это основная проблема поиска решения и понимания комбинаторики этой формулы (хотя скорее не проблема, а камень преткновения).
Думаю пора подытожить написанное выше, у нас есть три таблицы 4х4:
- одну мы задаем сами (это таблица "тэ мю ню", в ней мы задаем что где находится, как движется, какой массой обладает и так далее, пока воспринимайте её просто как данную нам, она просто есть, вы нашли её в учебнике или может быть она вам приснилась, не суть важно)
- таблицу "жэ мю ню" мы ищем, она отвечает за то, как искривлено пространство в котором масса, энергия и импульс расположены так, как мы имеем в таблице "тэ мю ню".
- таблица "эр мю ню", эта таблица (называется "тензор Риччи") выводится преобразованиями над таблицей "жэ мю ню". Фактически это можно считать не отдельной таблицей, а набором преобразований над таблицей "же мю ню", то есть какие-то ячейки мы сложим, какие-то вычтем, перемножим и так далее, и получится эта самая таблица из искомой "же мю ню".
Вот здесь скрыта основная сложность, мы ищем такую таблицу "жэ мю ню", которая, если её преобразовать (она станет таблицей "эр мю ню") будет взаимодействуя с собой равна таблице "тэ мю ню".
Можно сказать что в таблице "эр мю ню" скрыто очень много преобразований, это не таблица, а скорее формула, но обозначена здесь значком как таблица (можно относиться к ней и так, и так).
Далее мы и займемся её вычислением.
Нужно заранее оговориться что остальные буквы в формуле это просто числа, как число пи или G:
Единственное, число R вот здесь:
Это число, которое так же получается из таблицы "жэ мю ню" хитрым образом))) после того как мы получим таблицу "эр мю ню", найти R будет легче легкого, поэтому оно останется на "сладкое"))))
Что ж, формула для этой таблицы уже есть, вот она
Выглядит страшно и не понятно, да и где здесь обещанный "жэ мю ню"?
Я говорил что это мудрёно, так вот наш искомый "жэ мю ню" прячется внутри каждой буквы "Г"... точнее "гамма" (они называются "символы Кристоффеля" или "коэффициенты связности", выглядят как тензор, но по смыслу им не являются, но это не суть):
Эта "Гамма" - это отдельная сложность, так как является не просто таблицей, а объемной таблицей 4х4х4, на это намекают три её индекса...
Плюс ко всему в ней есть особенность, а точнее даже две:
- во первых, наш "же мю ню" встречается в свободном виде только с верхними индексами - это означает что это не сам "же мю ню", а его антипод, его противоположность, которую нужно отдельно получать из оригинального "жэ мю ню"))) (про элементы и обратные к ним, вы можете прочитать в моей старой статье "Как самостоятельно придумывать уравнения?", там конечно не про тензоры, но механизм описан довольно наглядно)
- во вторых, прочие таблицы "жэ мю ню", идут все в паре с какой-то закорючкой "де" (ещё и с индексом), это частная производная, но нам это тоже не важно, главное что это нечто, что меняет исходную таблицу "жэ мю ню"
Вот здесь мы на долго)))
Что ж, самое время поведать то, что я немного утаил от вас с самого начала.
Каждая из таблиц "же мю ню", "эр мю ню" и "тэ мю ню" это скорее не таблица, а все ячейки этой таблицы.
То есть, сама таблица как таковая это просто "жэ", "эр" и "тэ".
А вот когда эти таблицы приведены с индексами, то это означает конкретные ячейки этих таблиц. Так как здесь индексы обозначены не числами, а греческими буквами (в нашем случае "мю" и "ню"), по договоренности, они содержат в себе все цифры от 0 до 3 (то есть 0, 1, 2, 3).
То есть, когда в формуле написано что из "эр мю ню" вычитается "же мю ню", мы не просто вычитаем их как таблицы, а делаем это по ячейкам, казалось бы разницы никакой, результат тот же, но потом это будет нужно.
В контексте таблиц вы можете думать об этом, как о номере строки ("мю") и номере столбца ("ню")
Поэтому для вычисления изначальной формулы нужно вычислять её тоже поэлементно: выбрать пару "мю" и "ню" и для них посчитать результат, и так для любой комбинации.
Я сделал картиночку поясняющую этот процесс, я начинаю подставлять "мю" и "ню" начиная с нуля и далее перебираю для каждого столбца все строки, то есть выбираю "ню" сначала нуль, и перебираю для него все "мю" (напоминаю, и то и другое от 0 до 3), потом выбираю "ню" равным единице и снова перебираю все "мю" (от 0 до 3) и так далее, пока не дохожу до последнего элемента с индексом 33 (это не тридцать три!, это просто две тройки рядом)
В общем-то смысл ясен, здесь нужно ячейки таблиц комбинировать с ячейками таблиц, в примере выше всё элементарно, так как всё складывается поэлементно.
Если у нас уже найдены все эти таблицы (R, g и Т), то мы буквально просто берем и складываем ячейку (число или функцию которая в этой ячейке) из таблицы R (например в третьей строке и первом столбце) с ячейкой из таблицы g в том же положении (в третьей строке и первом столбце), и если всё верно нами решено это должно быть равно в точности ячейке из таблицы T (так же, в третьей строке и первом столбце).
То есть что-то типа такого, только числа я взял чисто для примера, из воздуха... они ничего не значат (вообще, как я уже говорил там должны быть не просто числа, а некоторые функции, но смысл тот же).
Мы работали только с третьей строкой и первым столбцом (отсчёт идёт с нуля, от верхнего левого угла таблицы)
Если мы сделали всё правильно, то должно получиться верное равенство.
Дальше мы будем вычислять таблицу "Гамма" (символы Кристоффеля) и у них ситуация будет посложнее, так как они уже 4х4х4 (их тупо больше).
Давайте внимательнее посмотрим как они вычисляются
Если вы были очень внимательны, то могли заметить что слева буква "Г" ("Гамма") имеет три индекса: "мю", "ро" и "сигма" (по порядку сверху-вниз, слева-направо), - но в правой части этого тождества индексов больше чем три, их четыре, так как кроме всех прочих добавился ещё индекс "ню", причем он есть как сверху, так и снизу.
На этот случай есть ещё одна договоренность в математической/физической среде, касающаяся тензоров и нотации Эйнштейна, она заключается в том, что если встречаются такие повторяющиеся верхние и нижние индексы, по ним происходит суммирование.
Что это значит? Это очень просто, мы как и раньше так же подставляем в этот повторяющийся индекс его возможные значения (0, 1, 2, 3) и просто суммируем, обычной суммой как в школе. Как будто у нас есть 4 ячейки и мы их сложили, поэтому они стали одной ячейкой, именно поэтому этого индекса ("ню") нет слева, так как став по сути одной ячейкой, он как бы свернулся в неё, его больше нет.
То есть в нашем случае, если расписать этот индекс "ню" и совсем про него забыть, формула должна иметь такой вид (более громоздкий):
Просто везде где есть "ню" я подставил сначала нули, потом ту же самую формулу, но уже с единицами, потом с двойкой и последняя с тройкой и сложил их, ВСЁ! Ничего сложного, это может показаться непривычным, но сложности в этом особой нет.
Настоящая сложность в всей этой формуле кроется как раз в том, что бы найти g с верхними индексами (это похоже на нахождение обратной матрицы, если вы понимаете что это такое) ну и ещё в том, что бы найти частные производные. Здесь проблема даже не в самих частных производных (если вы окончили школу, то знакомы с обычными производными, так вот частная это примерно то же самое), а в том, что нужно честно проделать все вычисления для всех ячеек таблицы (4х4) и всех индексов частной производной (4), то есть это 64 разных решения. Там правда есть свои симметрии, некоторые ячейки этой таблицы повторяются, то есть уникальных как правило не больше 32, но всё равно нужно сделать много однообразной работы что бы найти все ячейки этой объёмной таблицы 4х4х4.
Кстати, некоторые люди, которые ищут решения уравнения Эйнштейна, частенько не брезгуют искать не "вообще все" решения, а ищут их с некоторыми дополнительными "симметриями" (они специально вводят их в свои решения) и это позволяет им не редко СИЛЬНО сокращать количество вычислений, но это так, скорее заметка.
Что ж, что бы найти метрический тензор с верхними индексами (он так же называется контравариантный метрический тензор, не спрашивайте почему...), нужно взять обычный метрический тензор, наш "жэ мю ню" (он так же называется ковариантный метрический тензор, так как его индексы все снизу) и как для обычной матрицы найти его обратную матрицу.
Вы можете воспользоваться соответствующим софтом для такой процедуры есть как онлайн по типу WolframAlfa, так и оффлайн в виде Maple, Maxima или тот же Matlab (или даже MathCad), в принципе даже на некоторые языки программирования по типу питона есть библиотеки для действий над матрицами, там тоже можно найти подходящий вариант (но кажется они по большей части рассчитаны на численные решения, а не аналитические), но если вы искушенный в этом вопросе человек, вам захочется честно проделать все преобразования аналитически, вручную, и это далеко не простой процесс даже для матрицы 3х3, а для матрицы 4х4 и подавно. Но не отчаивайтесь, всё возможно, просто имейте ввиду что действий придётся сделать не мало, если вы конечно не будете применять в своем решении ряд симметрий и ограничений способствующих упрощению поиска решения.
Я не могу привести здесь этот процесс, так как он очень сильно затянет повествование.
Допустим вы нашли контравариантный метрический тензор, теперь пора искать все частные производные...
Для тех, кто забыл и/или не знал, напомню в кратце, что частная производная это почти то же самое что и обычная производная, но она выбирает по какой переменной она будет дифференцировать, всё остальное считается константами...
в принципе можно пролистать пару абзацев, до момента пока там снова не начнутся таблицы))))
А для тех кому интересно, давайте я покажу пример взятия частной производной, для этого попробуем найти результат такого дифференцирования:
Важно не запутаться со степенями и индексами, здесь всюду возле иксов стоят именно индексы, и возводится в квадрат только икс с индексом три, это можно заметить по тому, что он взят в дополнительные скобки и уже эти скобки возводятся в степень, это довольно повсеместная практика.
Так вот, памятуя что наш "сигма" (а кто твой сигма?) проходит все цифры от 0 до 3 включительно, мы получим такой результат:
Как видим, когда мы дифференцируем по нулевой компоненте, все слагаемые не содержащие её просто уничтожаются, а все содержащие дифференцируются, но так, будто все сомножители этой нулевой компоненты это просто константы...
В остальных случаях всё тоже самое.
А в последнем, четвертом случае, мы дифференцировали по третьей компоненте и получили то же самое в отношении как слагаемых, так и сомножителей, и я специально показал что даже степень уменьшается так же как и при обычном дифференцировании, но только для одной компоненты, той по которой сейчас дифференцирует частная производная.
Как я и писал, это почти то же самое что и обычная школьная производная, только более не привычная, можно по началу легко запутаться.
Как же в таком случае должна выглядеть наша "Гамма"?
Давайте пристальнее посмотрим что там происходит. Вспомним как выглядела формула по расчёту "Гаммы"
Пусть для наглядности "мю" = 0, "ро" = 1 и "сигма" = 3.
То есть мы будем искать такую "Гамму"
Заменим все символы на соответствующие цифры:
Понимаю, куча каких-то непонятных символов, но если быть внимательным то можно заметить кое какую особенность, вот эти "штуки" (на картинке ниже) можно сократить, так как они одинаковые: это одна и та же производная примененная к одному и тому же элементу таблицы метрики "жэ мю ню" (метрическому тензору)
Более того, из-за особенностей таблицы метрики, эти элементы (на картинке ниже) тоже можно сократить, так как у таблицы метрики есть диагональная симметрия, это значит что ячейки с индексами 31 эквивалентны ячейкам с индексами 13.
Все эти упрощения делать не обязательно, можно посчитать и так, без них, но здесь мы сможем немного сократить размер формулы и её будет лучше видно, поэтому я это сделал, а так вы в принципе можете этого не делать (на первых парах). Более того, я ещё и немного перемещу последнее слагаемое в центр, что бы всё выражение красиво выглядело и помещалось в три строки впоследствии.
Для наглядности я заменю каждое упоминание элемента таблицы метрики на красную таблицу с обозначением соответствующего элемента, а элементы обратной таблицы метрики (контравариантного метрического тензора) на синие таблицы.
Что здесь происходит:
- мы берём элемент обратной к "жэ мю ню" таблицы[синяя таблица]. По сути каждый элемент этой таблицы это некоторая формула/закономерность.
- умножаем эту формулу/закономерность на сумму производных от содержимого ячеек искомой таблицы "жэ мю ню" [красные таблицы], это тоже формулы/закономерности.
Там конечно не только сумма, но есть и разность, но это всё можно считать частью суммы так как это действия общего характера (сложение/вычитание).
- Так мы делаем для всех слагаемых (каждое из них так же умножается на 1/2, хотя можно было бы вынести этот общий множитель, но это не важно), результатом будет тоже некоторая формула (
образованная суммой и произведением других формул из ячеек нашей таблицы метрики), эта формула и будет лежать в ячейке нашей таблицы "Гамма", аналогично нужно сделать для всех 64 ячеек этой объёмной таблицы размера 4х4х4.
После того как вы это сделали, нужно сделать почти то же самое, но теперь с самой "Гаммой".
Здесь мы видим то же самое что было раньше, здесь есть "ро" по которому нужно всё просуммировать.
Так же здесь есть "сигма", я не поленился раскрыть и его:
Много? много-много... ещё как много.
Но всё что здесь нужно у нас уже есть, "Гамму" мы уже нашли, нужно просто перемножить её нужные ячейки и сложить их.
Нарисовать всё это с таблицами 4х4х4 я вряд ли смогу... да даже одну такую таблицу можно нарисовать с трудом, если она должна быть информативной... а уж говорить о нескольких десятках экземпляров...
То что мы получим, как уже было сказанно это будет таблица "эр мю ню" 4х4.
Осталось найти число R (скалярную кривизну), которую мы оставляли на последний момент.
Она находится прямо из "эр мю ню":
Здесь нужно просто поэлементно умножить ячейки одной таблицы (контравариантного метрического тензора, который у нас уже есть) на ячейки таблицы "эр мю ню" (тензор Риччи) и сложить все эти произведения, все 16 штук, я нарисую как это ориентировочно выглядит.
Здесь опять же, перемножаются не таблицы, а ячейки, они показаны квадратиками внутри таблиц,
Каждая ячейка это формула (в каждой ячейке лежит формула) - некоторая зависимость, нечто изменяющееся, и мы перемножаем эти формулы друг на друга и потом все их складываем.
После этого мы получим R в виде формулы, но если подставить в неё все данные, она даст нам конкретное число - кривизну пространства в некоторой точке (зависящее от места, времени и может от ещё чего-то).
Вот в общем-то и всё. На самом деле в этом уравнении нет ничего сложного, единственное что вызывает затруднения это возможная путаница с индексами, их очень много и много разных сумм с разными индексами.
Я надеюсь мне удалось показать что в основном здесь всё основано на табличных вычислениях, точнее даже не самих таблицах, а как мы увидели на их элементах.
Если проанализировать формулу повторно вы можете заметить что частные производные используются в двух местах:
- при вычислении таблиц "Гамма" (коэффициенты связности)
- при вычислении таблицы "рэ мю ню" (тензор Риччи)
То есть в общем случае само это уравнение Эйнштейна является набором дифференциальных уравнений второго порядка, то есть изменения в ячейках метрического тензора (те формулы/закономерности которые там хранятся) нужно будет продифференцировать иногда один раз, а иногда целых два.
Что значит "решить" уравнение Эйнштейна?
Решить это уравнение - это означает что нужно найти такие изменения/формулы/закономерности для каждой из ячеек таблицы "жэ мю ню" которые бы после всех преобразований соответствовали бы таблице "тэ мю ню" (с учетом умножения на все коэффициенты конечно же)
Сможете ли вы решить уравнение Эйнштейна после всего что узнали? маловероятно (без привычки в этом сложно ориентироваться), но попытаться вы можете, я дал практически весь минимум информации для этого))))
Я надеюсь что это уравнение, как минимум, перестало быть таким страшным и непонятным, так как в сущности оно осложнено только своей комбинаторикой (нужно перебирать много однообразных вариантов ячеек таблиц), в остальном математика там почти что школьная.
Самое забавное состоит в том, что если вы освоите ещё несколько базовых концепций, то в совокупности с изложенными будете иметь уже общее представление как о теории относительности, так и о дифференциальной геометрии и тензорном анализе в целом (так как теория относительности сформулирована на их языке). Я не стал их все здесь излагать (здесь речь только о уравнении), но чисто по практике скажу что там всё тоже не слишком сложно, я бы даже сказал что в учебниках это объясняют гораздо сложнее чем оно есть на самом деле)))) надеюсь моё объяснение добавило ясности, а не затуманила всё окончательно)))
П.С. я не физик и осваивал это всё для себя любимого, мне просто когда-то было интересно, так что заранее извиняюсь если я в чем-то ошибся или где-то был некорректен.
П.П.С. я писал о классическом уравнении в пространстве-времени с 4-мя компонентами (чаще говорят о пространстве сигнатуры (1, 3) указывая что есть одномерное время и трёхмерное пространство ), но есть и другие вариации этого уравнения в других пространствах и много-много другого... но это уже совсем другая история...