Найти в Дзене

Прямая и обратная пропорциональность в решении задач на движение

Оглавление

Прямая пропорциональность задается линейной функцией вида y=kx+b, где k не равно нулю. Функция прямой пропорциональности отражает множество различных процессов – от процессов образования стоимости товара в зависимости от цены за единицу товара, до физических процессов, связанных с движением объекта по прямой траектории.

1. Прямая пропорциональность в задачах на движение

1.1 Тело движется с постоянным ускорением 0,2 см/с^2, его начальная скорость 0см/с. То есть считаем, что до начала движения тело находилось в покое, и было неподвижным. Построить график зависимости скорости движения тела от времени и определить через какое время скорость движения тела составит 5м/с?

Решение:

1) Составим формулу зависимости скорости движения тела от времени.

Поскольку тело с течением времени ускоряется, время движения тела и его скорость находятся в прямой пропорциональности – чем больше время, тем больше скорость.

-2

2) Используя формулу, составим таблицу, в которой будет отражена зависимость двух переменных

-3

3) По данным таблицы строим график

-4

Мы видим, что построенный график действительно соответствует вычисленным в таблице данным.

4) Найдем сколько должно пройти времени с начала движения, чтобы объект развил скорость 5м/с.

Заметим, что ускорение дано в см/с^2. Тогда и м/с нужно перевести в см: 5м/с=500см/с.

-5
Теперь изменим условие задачи и посмотрим, как это отразится на графике.

Тело движется с постоянным ускорением 0,2 см/с^2, его начальная скорость 4 см/с. То есть считаем, что до начала движения тело двигалось с постоянной скоростью. Построить график зависимости скорости движения тела от времени и определить через какое время скорость движения тела составит 5м/с?

-6
-7

Каждая точка графика сдвинулась на 4 единицы вверх. Таким образом, после изменения условия, а именно, начальной скорости 4 см/с, абсциссы точек остались неизменны, а ординаты увеличились на 4.

Обратим внимание, что коэффициент k больше нуля (0,2), и график «идет вверх», т.е. «повернут» относительно оси Ох против часовой стрелке.

Положительное значение коэффициента k говорит о том, что скорость с течением времени увеличивается, и функция является возрастающей на всей области определения.

Рассмотрим задачу, в которой движение материальной точки будет замедляться с течением времени.

Материальная точка движется по прямой с начальной скоростью 15 м/с, скорость замедления точки V равна 7,6 м/с^2. Построить график зависимости скорости движения материальной точки от времени и найти через какое время материальная точка остановится.

1) Составим формулу зависимости скорости движения тела от времени.

Поскольку тело с течением времени замедляется, время движения тела и его скорость, однако, находятся в прямой пропорциональности – чем больше время, тем меньше скорость.

Убедимся, что зависимость скорости материальной точки находится в прямо пропорциональной зависимости от времени.

Начальная скорость движения тела уменьшается с течением времени на 7,6t.
Начальная скорость движения тела уменьшается с течением времени на 7,6t.

2) Используя формулу, составим таблицу, в которой будет отражена зависимость двух переменных

-9

Составлять таблицу дольше не имеет смысла, так как менее чем через 2 секунды точка прекратит свое движение.

-10
Обратим внимание, что коэффициент k меньше нуля (-7,6), и график «идет вниз», т.е. «повернут» относительно оси Ох по часовой стрелке.

3) Вычислим, через какое время точка остановится, т.е. ее скорость будет равна нулю.

-11

Таким образом, графиком прямо пропорциональной зависимости двух величин является прямая.

Обратная пропорциональность задается функцией вида y=k/x. Из функции очевидно, что ее аргумент «х» не может принимать значение ноль.

Функция обратной пропорциональности также отражает множество различных физических процессов, связанных с движением объекта. Например, частота колебаний маятника находится в обратно пропорциональной зависимости от длины нити, на которую он подвешен, а период движения маятника обратно пропорционален количеству полных колебаний за фиксированный промежуток времени.

2 Обратная пропорциональность в задачах на движение

Автомобиль, двигаясь со скоростью 75км/ч, проезжает 150 км. Записать формулу зависимости времени, за которое автомобиль проедет 150 км, от скорости его движения. Построить график этой зависимости.

1) Составим формулу, опираясь на известную формулу s=vt.

-12

2) Составим таблицу

-13

Комментируя результаты вычислений, полученных при заполнении таблицы, придем к выводам, что, если автомобиль будет двигаться с «черепашей» скоростью 1км/ч, то для того, чтобы «проехать» 150км ему потребуется 150 часов. Для того, чтобы преодолеть это расстояние за 15 часов, ему нужно будет «ползти» со скоростью 10км/ч.

Таким образом, чем больше скорость, тем меньше нужно времени для преодоления данного расстояния. И наоборот, чем меньше скорость, тем больше нужно времени.

Скорость и время находятся в обратно пропорциональной зависимости.

3) Построим график зависимости времени от скорости движения

-14

В отличие от графика прямо пропорциональной зависимости, график обратно пропорциональной зависимости имеет форму гиперболы.

Формула, задающая график, имеет вид

-15

Заметим, что время увеличивается во столько же раз, во сколько раз уменьшается скорость.

Ставьте лайк, если было интересно и полезно, и подписывайтесь на канал!