Прямая пропорциональность задается линейной функцией вида y=kx+b, где k не равно нулю. Функция прямой пропорциональности отражает множество различных процессов – от процессов образования стоимости товара в зависимости от цены за единицу товара, до физических процессов, связанных с движением объекта по прямой траектории.
1. Прямая пропорциональность в задачах на движение
1.1 Тело движется с постоянным ускорением 0,2 см/с^2, его начальная скорость 0см/с. То есть считаем, что до начала движения тело находилось в покое, и было неподвижным. Построить график зависимости скорости движения тела от времени и определить через какое время скорость движения тела составит 5м/с?
Решение:
1) Составим формулу зависимости скорости движения тела от времени.
Поскольку тело с течением времени ускоряется, время движения тела и его скорость находятся в прямой пропорциональности – чем больше время, тем больше скорость.
2) Используя формулу, составим таблицу, в которой будет отражена зависимость двух переменных
3) По данным таблицы строим график
Мы видим, что построенный график действительно соответствует вычисленным в таблице данным.
4) Найдем сколько должно пройти времени с начала движения, чтобы объект развил скорость 5м/с.
Заметим, что ускорение дано в см/с^2. Тогда и м/с нужно перевести в см: 5м/с=500см/с.
Теперь изменим условие задачи и посмотрим, как это отразится на графике.
Тело движется с постоянным ускорением 0,2 см/с^2, его начальная скорость 4 см/с. То есть считаем, что до начала движения тело двигалось с постоянной скоростью. Построить график зависимости скорости движения тела от времени и определить через какое время скорость движения тела составит 5м/с?
Каждая точка графика сдвинулась на 4 единицы вверх. Таким образом, после изменения условия, а именно, начальной скорости 4 см/с, абсциссы точек остались неизменны, а ординаты увеличились на 4.
Обратим внимание, что коэффициент k больше нуля (0,2), и график «идет вверх», т.е. «повернут» относительно оси Ох против часовой стрелке.
Положительное значение коэффициента k говорит о том, что скорость с течением времени увеличивается, и функция является возрастающей на всей области определения.
Рассмотрим задачу, в которой движение материальной точки будет замедляться с течением времени.
Материальная точка движется по прямой с начальной скоростью 15 м/с, скорость замедления точки V равна 7,6 м/с^2. Построить график зависимости скорости движения материальной точки от времени и найти через какое время материальная точка остановится.
1) Составим формулу зависимости скорости движения тела от времени.
Поскольку тело с течением времени замедляется, время движения тела и его скорость, однако, находятся в прямой пропорциональности – чем больше время, тем меньше скорость.
Убедимся, что зависимость скорости материальной точки находится в прямо пропорциональной зависимости от времени.
2) Используя формулу, составим таблицу, в которой будет отражена зависимость двух переменных
Составлять таблицу дольше не имеет смысла, так как менее чем через 2 секунды точка прекратит свое движение.
Обратим внимание, что коэффициент k меньше нуля (-7,6), и график «идет вниз», т.е. «повернут» относительно оси Ох по часовой стрелке.
3) Вычислим, через какое время точка остановится, т.е. ее скорость будет равна нулю.
Таким образом, графиком прямо пропорциональной зависимости двух величин является прямая.
Обратная пропорциональность задается функцией вида y=k/x. Из функции очевидно, что ее аргумент «х» не может принимать значение ноль.
Функция обратной пропорциональности также отражает множество различных физических процессов, связанных с движением объекта. Например, частота колебаний маятника находится в обратно пропорциональной зависимости от длины нити, на которую он подвешен, а период движения маятника обратно пропорционален количеству полных колебаний за фиксированный промежуток времени.
2 Обратная пропорциональность в задачах на движение
Автомобиль, двигаясь со скоростью 75км/ч, проезжает 150 км. Записать формулу зависимости времени, за которое автомобиль проедет 150 км, от скорости его движения. Построить график этой зависимости.
1) Составим формулу, опираясь на известную формулу s=vt.
2) Составим таблицу
Комментируя результаты вычислений, полученных при заполнении таблицы, придем к выводам, что, если автомобиль будет двигаться с «черепашей» скоростью 1км/ч, то для того, чтобы «проехать» 150км ему потребуется 150 часов. Для того, чтобы преодолеть это расстояние за 15 часов, ему нужно будет «ползти» со скоростью 10км/ч.
Таким образом, чем больше скорость, тем меньше нужно времени для преодоления данного расстояния. И наоборот, чем меньше скорость, тем больше нужно времени.
Скорость и время находятся в обратно пропорциональной зависимости.
3) Построим график зависимости времени от скорости движения
В отличие от графика прямо пропорциональной зависимости, график обратно пропорциональной зависимости имеет форму гиперболы.
Формула, задающая график, имеет вид
Заметим, что время увеличивается во столько же раз, во сколько раз уменьшается скорость.