На телеграм-канале "Умный канал" была выложена задача по теории вероятностей, после чего между читателями произошел спор относительно её решения. К сожалению, по техническим причинам мне сейчас недоступны ни Телеграм, ни Ютьюб. Но один из участников спора познакомил меня в Дзене с этой задачей и предложил решить её. Не имея возможности изложить своё видение решения спорной задачи "по месту её появления", я выкладываю его здесь для ознакомления. Мне так проще, поскольку необходимо приложить несколько пояснительных рисунков с комментариями, а это возможно (и удобней) сделать в отдельной статье на собственном канале.
Итак, предлагаемая задача в оригинальном виде имеет следующую формулировку.
Как же хочется подумать, что это аналог очень известной задачи "про двух детей, один из которых - мальчик". Та задача звучит так: "У родителей в семье есть двое детей. Известно, что один из них - мальчик. Какова вероятность, что другой ребенок - тоже мальчик, если известно, что дети всегда рождаются независимо и равновероятно - мальчик или девочка."
В этой популярной задаче про детей наиболее корректным, хоть и контринтуитивным, является ответ: вероятность, что другой ребенок - тоже мальчик, равна две трети. Тем не менее, на канале Бориса Трушина (Ютьюб) есть очень интересные рассуждения относительно задачи про двух детей (и еще относительно другой менее известной её вариации про ядовитые грибы и "целебных" лягушек). Там автор более "ответственно" подошел к возможным трактовкам условий обеих задач, в результате чего пришел к выводу, что можно обосновать некое альтернативное понимание этих условий. Тогда их решения и, соответственно, ответы окажутся другими.
Я не буду рассматривать, ни классическое решение задачи про детей, ни рассуждения Бориса Трушина (это всё можно найти в Интернете), а сразу займусь задачей, вызвавшей споры. Я считаю, что трудностей трактовки её условия нет, и задача имеет единственное решение. Нужно только четко понимать, что означает "условная вероятность".
Итак, в задаче есть два этапа, на каждом из которых формируется своё "множество событий (исходов)".
На первом этапе мы из каждой емкости выбираем по одному шарику. Очевидно, что вероятность взять шарик любого из двух цветов для каждой емкости равна одной второй. Значит, первое множество событий состоит из четырех равновероятных вариантов вынимания шариков.
После этого мы наугад вынимаем из коробки один из шариков, и на этом этапе множество событий увеличивается таким образом, что каждое событие первого множества "распадается" на два события (в зависимости от того, шарик из какой корзины мы вынули). И эти события снова между собой равновероятны. В результате множество событий после изъятия шарика из коробки будет состоять уже из восьми равновероятных вариантов исходов.
Теперь используем известный нам факт, что вынутый шарик оказался красным. Это означает, что часть событий от полного их множества следует исключить из рассмотрения при подсчете условной апостериорной вероятности того, что в коробке останется черный шарик. В этом состоит некая тонкость понятия условной вероятности и правила её вычисления.
Итак, мы исключаем варианты, когда был вынут черный шарик, и (внимание!) оставшиеся возможные варианты - остаются равновероятными уже на оставшемся подмножестве событий. Среди них (а их осталось четыре) есть два варианта, когда шарик в коробке - черный, и два варианта, когда шарик в коробке - красный. Значит, вероятность того, что оставшийся в коробке шарик - черный, равна вероятности того, что оставшийся в коробке шарик - красный, и эти вероятности равны по одной второй.
Принципиальное отличие этой задачи от задачи про детей состоит в том, что в данном варианте у нас УЖЕ ЕСТЬ вынутый (то, есть, условно выделенный "первым") шарик, а в задаче про детей нам сказано, что "КАКОЙ-ТО" (то ли первый, то ли второй) ребенок - мальчик. И это две большие разницы.