Построить график функции и определить, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.
С первого взгляда кажется, что функция, график которой нам предлагают построить, не имеет ничего общего с квадратичной функцией. Но это только до тех пор, пока мы не преобразовали выражение, сократив множители в числителе и в знаменателе.
Мы видим, что числитель дроби не разложен на множители, а значит, чтобы можно было сократить дробь, нужно исправить этот «недостаток».
Для того, чтобы разложить квадратный полином на множители, можно применить формулу, которая часто незаслуженно забывается учениками. В школьном курсе математики эта тема изучается вскользь и вспоминается, как правило, только на ОГЭ.
Итак, формула разложения квадратного полинома (он же трехчлен) на множители:
где х1 и х2 корни квадратного уравнения.
Корнями уравнения x^2+3x+2=0 являются числа x1=-2, x2=-1. Поэтому, квадратный трехчлен разложится на множители так:
Тогда все выражение будет иметь вид:
Теперь мы видим, что уравнение y=(x+4)(x+2) действительно является квадратным, поскольку наивысшая степень переменной – квадрат, в чем несложно убедиться, если раскрыть скобки.
Сделаем это:
По теореме Виета имеем:
Отсюда получаем функцию
Для того, чтобы ответить на вопрос о значении переменной m, нам необходимо найти вершину параболы.
Поскольку прямая вида y=m параллельна оси Ох, то вершина параболы – это та самая нужная нам точка. Если прямая будет проходить выше или ниже этой точки, то она будет иметь с параболой или две общие почки, или вообще не будет ее пересекать.
Для нахождения вершины параболы воспользуемся методом выделения полного квадрата:
Значение (х+3)^2 говорит о том, абсцисса вершины параболы сдвинута от начала координат на 3 единицы влево («+» в скобках под квадратом означает движение параболы влево). Значение -1 - значит, ордината вершины параболы сдвинута вниз на одну единицу от начала координат. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (-3;-1).
Ответ: m=-1.
Спасибо, что остались на уроке до конца. Оценивайте, пишите комментарии, учитесь с удовольствием!
#огэномер #построитьграфикфункции #математикавшколе #огэ